[Toán 10] pp đặt ẩn phụ

[nghgh97]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1) \[(x + 5)(2 - x) = 3\sqrt {{x^2} + 3x} \]
2) \[\sqrt {4 - \dfrac{{{x^2}}}{4}} = \dfrac{{{x^2}}}{{4\sqrt 2 }}\]
3) \[\sqrt {{x^2} - 3x + 3} + \sqrt {{x^2} - 3x + 6} = 3\]
Với mỗi pt các bạn giúp mình ít nhất 2 cách nhé.

 

[thaoteen21]

tl

câu 1:
(x+5)(2-x)=3.$\sqrt{x^2+3x}$
\Leftrightarrow -($x^2$+3x)+10=3.$\sqrt{x^2+3x}$
đặt t=$\sqrt{x^2+3x}$ t\geq0
$t^2$+3t-10=0
\Leftrightarrow t=2 (thoả) và t=-5 loại
với t=2 \Leftrightarrow$x^2$+3x-4=0
\Leftrightarrow x=1 và x=-4

 

[thaoteen21]

tl

bài 3:
$\sqrt{x^2-3x+3}$+$\sqrt{x^2-3x+6}$=3
đặt t=x^2-3x+3 với t\geq0
\Leftrightarrow $\sqrt{t}$+$\sqrt{t+3}$=3
bình phương lên,biến đổi giải ra t=1
\Leftrightarrowx^2-3x+3=1 \Leftrightarrow x=1 và x=2 là 2no pt

 

[thaoteen21]

tl

bài 2:đk -16\leqx\leq16
$\sqrt{4-\dfrac{x^2}{4}}$= $\dfrac{x^2}{4.\sqrt2}}$
\Leftrightarrow $\sqrt{\dfrac{16-x^2}{4}}$=$\dfrac{x^2}{4\sqrt{2}}$
\Leftrightarrow 16-$x^2$+2.$\sqrt{2}$.$\sqrt{16-x^2}$-16=0
đặt t=$\sqrt{16-x^2}$ t\geq0
$t^2$+2.$\sqrt{2}$.t-16=0
\Rightarrow t=2$\sqrt{2}$ và t=-4$\sqrt{2}$loại
với t=2$\sqrt{2}$ \Leftrightarrow $\sqrt{16-x^2}$=2$\sqrt{2}$
\Leftrightarrow x^2=8\Rightarrow x=...?

 

[nghgh97]

bài 2:đk -16\leqx\leq16
$\sqrt{4-\dfrac{x^2}{4}}$= $\dfrac{x^2}{4.\sqrt2}}$
\Leftrightarrow $\sqrt{\dfrac{16-x^2}{4}}$=$\dfrac{x^2}{4\sqrt{2}}$
\Leftrightarrow 16-$x^2$+2.$\sqrt{2}$.$\sqrt{16-x^2}$+16=0
đặt t=$\sqrt{16-x^2}$ t\geq0
$t^2$+2.$\sqrt{2}$.t+16=0
pt này vô nghiệm
vậy pt đã cho vô nghiệm

Mình lại làm ra có nghiệm bạn à, mình chưa thế nghiệm vào pt kiểm tra, nếu mình sai bạn chỉ giùm mình chỗ nào sai nhé:
\[\begin{array}{l}
\sqrt {4 - \frac{{{x^2}}}{4}} = \frac{{{x^2}}}{{4\sqrt 2 }}\\
- 16 \le x \le 16\\
t = \frac{{{x^2}}}{4} \Rightarrow \sqrt {4 - t} = \frac{t}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow 4 - t = \frac{{{t^2}}}{2} \Leftrightarrow {t^2} + 2t - 4 = 0\\
\Delta _t^' = {1^2} - 1.( - 4) = 5 > 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
t = - 1 + \sqrt 5 > 0\\
t = - 1 - \sqrt 5 < 0
\end{array} \right.\\
\frac{{{x^2}}}{4} = - 1 + \sqrt 5 \Leftrightarrow {x^2} = 4\left( { - 1 + \sqrt 5 } \right)\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 2\sqrt { - 1 + \sqrt 5 } \le 16\\
x = - 2\sqrt { - 1 + \sqrt 5 } \ge - 16
\end{array} \right.
\end{array}\]

 

[thaoteen21]

bài bạn xai chỗ mjh làm đỏ nhé.ak mjh mới sửa lại bài viết bạn xem rồi xác nhận lại giúp mjh.bài bạn sửa lại cũng sẽ ra giống mjh.hì

Mình lại làm ra có nghiệm bạn à, mình chưa thế nghiệm vào pt kiểm tra, nếu mình sai bạn chỉ giùm mình chỗ nào sai nhé:
\[\begin{array}{l}
\sqrt {4 - \frac{{{x^2}}}{4}} = \frac{{{x^2}}}{{4\sqrt 2 }}\\
- 16 \le x \le 16\\
t = \frac{{{x^2}}}{4} \Rightarrow \sqrt {4 - t} = \frac{t}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow 4 - t = \frac{{{t^2}}}{2} \Leftrightarrow {t^2} + 2t - 4 = 0\\
\Delta _t^' = {1^2} - 1.( - 4) = 5 > 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
t = - 1 + \sqrt 5 > 0\\
t = - 1 - \sqrt 5 < 0
\end{array} \right.\\
\frac{{{x^2}}}{4} = - 1 + \sqrt 5 \Leftrightarrow {x^2} = 4\left( { - 1 + \sqrt 5 } \right)\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 2\sqrt { - 1 + \sqrt 5 } \le 16\\
x = - 2\sqrt { - 1 + \sqrt 5 } \ge - 16
\end{array} \right.
\end{array}\]

chỗ đó là $t^2$+2t-8=0\Leftrightarrowt=2 và t=-4 (loại)
giải ra $x^2$=8
thân....

 

[rocky576]

Mình lại làm ra có nghiệm bạn à, mình chưa thế nghiệm vào pt kiểm tra, nếu mình sai bạn chỉ giùm mình chỗ nào sai nhé:
\[\begin{array}{l}
\sqrt {4 - \frac{{{x^2}}}{4}} = \frac{{{x^2}}}{{4\sqrt 2 }}\\
- 16 \le x \le 16\\
t = \frac{{{x^2}}}{4} \Rightarrow \sqrt {4 - t} = \frac{t}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow 4 - t = \frac{{{t^2}}}{2} \Leftrightarrow {t^2} + 2t - 4 = 0\\
\Delta _t^' = {1^2} - 1.( - 4) = 5 > 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
t = - 1 + \sqrt 5 > 0\\
t = - 1 - \sqrt 5 < 0
\end{array} \right.\\
\frac{{{x^2}}}{4} = - 1 + \sqrt 5 \Leftrightarrow {x^2} = 4\left( { - 1 + \sqrt 5 } \right)\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 2\sqrt { - 1 + \sqrt 5 } \le 16\\
x = - 2\sqrt { - 1 + \sqrt 5 } \ge - 16
\end{array} \right.
\end{array}\]

Bài này vô nghiệm!
\[\begin{array}{l}
\sqrt {4 - \frac{{{x^2}}}{4}} = \frac{{{x^2}}}{{4\sqrt 2 }}\\
- 16 \le x \le 16\\
x = 4\sin t\\
t \in \left[ {0;2\pi } \right]\\
\Rightarrow 2\sqrt {1 - {{\sin }^2}t} = \frac{{4{{\sin }^2}t}}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow \left| {\cos t} \right| = \sqrt 2 {\sin ^2}t = \sqrt 2 \left( {1 - {{\cos }^2}t} \right) = \sqrt 2 - \sqrt 2 {\cos ^2}t\\
\Rightarrow \sqrt 2 {\cos ^2}t - \left| {\cos t} \right| - \sqrt 2 = 0\\
\bullet \cos t \ge 0 \Rightarrow \sqrt 2 {\cos ^2}t - \cos t - \sqrt 2 = 0\\
\Delta = {\left( { - 1} \right)^2} - 4.\sqrt 2 .\left( { - \sqrt 2 } \right) = 17 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\cos t = \frac{{1 + \sqrt {17} }}{{2\sqrt 2 }} > 1\\
\cos t = \frac{{1 - \sqrt {17} }}{{2\sqrt 2 }} < - 1
\end{array} \right.\\
\bullet \cos t < 0 \Rightarrow \sqrt 2 {\cos ^2}t + \cos t - \sqrt 2 = 0\\
\Delta = {1^2} - 4.\sqrt 2 .\left( { - \sqrt 2 } \right) = 17 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\cos t = \frac{{ - 1 + \sqrt {17} }}{{2\sqrt 2 }} > 1\\
\cos t = \frac{{ - 1 - \sqrt {17} }}{{2\sqrt 2 }} < - 1
\end{array} \right.
\end{array}\]
Vì các $\cos t$ tìm được đều không thuộc tập xác định của hàm $\cos$ là $-1\leq \cos t \leq 1$ nên pt trên vô nghiệm.

 

[rocket97]

Bài này vô nghiệm!
\[\begin{array}{l}
\sqrt {4 - \frac{{{x^2}}}{4}} = \frac{{{x^2}}}{{4\sqrt 2 }}\\
- 16 \le x \le 16\\
x = 4\sin t\\
t \in \left[ {0;2\pi } \right]\\
\Rightarrow 2\sqrt {1 - {{\sin }^2}t} = \frac{{4{{\sin }^2}t}}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow \left| {\cos t} \right| = \sqrt 2 {\sin ^2}t = \sqrt 2 \left( {1 - {{\cos }^2}t} \right) = \sqrt 2 - \sqrt 2 {\cos ^2}t\\
\Rightarrow \sqrt 2 {\cos ^2}t - \left| {\cos t} \right| - \sqrt 2 = 0\\
\bullet \cos t \ge 0 \Rightarrow \sqrt 2 {\cos ^2}t - \cos t - \sqrt 2 = 0\\
\Delta = {\left( { - 1} \right)^2} - 4.\sqrt 2 .\left( { - \sqrt 2 } \right) = 17 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\cos t = \frac{{1 + \sqrt {17} }}{{2\sqrt 2 }} > 1\\
\cos t = \frac{{1 - \sqrt {17} }}{{2\sqrt 2 }} < - 1
\end{array} \right.\\
\bullet \cos t < 0 \Rightarrow \sqrt 2 {\cos ^2}t + \cos t - \sqrt 2 = 0\\
\Delta = {1^2} - 4.\sqrt 2 .\left( { - \sqrt 2 } \right) = 17 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\cos t = \frac{{ - 1 + \sqrt {17} }}{{2\sqrt 2 }} > 1\\
\cos t = \frac{{ - 1 - \sqrt {17} }}{{2\sqrt 2 }} < - 1
\end{array} \right.
\end{array}\]
Vì các $\cos t$ tìm được đều không thuộc tập xác định của hàm $\cos$ là $-1\leq \cos t \leq 1$ nên pt trên vô nghiệm.

Có đầy đủ nghiệm!
\[\begin{array}{l}
\sqrt {4 - \frac{{{x^2}}}{4}} = \frac{{{x^2}}}{{4\sqrt 2 }}\\
- 16 \le x \le 16\\
x = 4a \Rightarrow - 4 \le a \le 4\\
\Rightarrow \sqrt {1 - {a^2}} = \sqrt 2 {a^2} \Leftrightarrow 1 - {a^2} = 2{a^4} \Leftrightarrow 2{a^4} + {a^2} - 1 = 0\\
2 - 1 - 1 = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{a^2} = 1\\
a{}^2 = \frac{1}{2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
a = 1\\
a = - 1
\end{array} \right.\\
\left[ \begin{array}{l}
a = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\
a = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
x = 4\\
x = - 4
\end{array} \right.\\
\left[ \begin{array}{l}
x = 2\sqrt 2 \\
x = - 2\sqrt 2
\end{array} \right.
\end{array} \right.
\end{array}\]

 

[cry_with_me]

anh Hưng
để ktra nghiệm anh thay kết quả vào đi ạ
cái nào bằng 0 thì nghiệm đúng
hihi
,nhưng sao cái bài của anh 576 lại có sin cos
cách giải mới ạ, phải nghiên cứu

 

[nghgh97]

anh Hưng
để ktra nghiệm anh thay kết quả vào đi ạ
cái nào bằng 0 thì nghiệm đúng
hihi
,nhưng sao cái bài của anh 576 lại có sin cos
cách giải mới ạ, phải nghiên cứu

Lượng giác hóa ấy mà, thường thấy các anh chị 11, 12 làm bằng cách này
nhưng mà anh chưa học lượng giác, nên thấy nguy hiểm sao sao ấy

 

[nguyengiahoa10]

bài 3:
$\sqrt{x^2-3x+3}$+$\sqrt{x^2-3x+6}$=3
đặt t=x^2-3x+3 với t\geq0
\Leftrightarrow $\sqrt{t}$+$\sqrt{t+3}$=3
bình phương lên,biến đổi giải ra t=1
\Leftrightarrowx^2-3x+3=1 \Leftrightarrow x=1 và x=2 là 2no pt

Một cách đặt ẩn phụ khác:
\[\begin{array}{l}
\sqrt {{x^2} - 3x + 3} + \sqrt {{x^2} - 3x + 6} = 3\\
t = {x^2} - 3x \Rightarrow \sqrt {t + 3} + \sqrt {t + 6} = 3\\
t \ge - 3\\
\Leftrightarrow t + 3 + t + 6 + 2\sqrt {(t + 3)(t + 6)} = 9\\
\Leftrightarrow \sqrt {(t + 3)(t + 6)} = - t\\
\Rightarrow (t + 3)(t + 6) = {t^2}\\
\Leftrightarrow 9t + 18 = 0\\
\Leftrightarrow t = - 2 \ge - 3\\
\bullet {x^2} - 3x = - 2 \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 1\\
x = 2
\end{array} \right.
\end{array}\]

 

[rocky576]

Có đầy đủ nghiệm!
\[\begin{array}{l}
\sqrt {4 - \frac{{{x^2}}}{4}} = \frac{{{x^2}}}{{4\sqrt 2 }}\\
- 16 \le x \le 16\\
x = 4a \Rightarrow - 4 \le a \le 4\\
\Rightarrow \sqrt {1 - {a^2}} = \sqrt 2 {a^2} \Leftrightarrow 1 - {a^2} = 2{a^4} \Leftrightarrow 2{a^4} + {a^2} - 1 = 0\\
2 - 1 - 1 = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{a^2} = 1\\
a{}^2 = \frac{1}{2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
a = 1\\
a = - 1
\end{array} \right.\\
\left[ \begin{array}{l}
a = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\
a = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
x = 4\\
x = - 4
\end{array} \right.\\
\left[ \begin{array}{l}
x = 2\sqrt 2 \\
x = - 2\sqrt 2
\end{array} \right.
\end{array} \right.
\end{array}\]

Còn phải thế vào pt kiểm tra lại nữa chứ.
Bài này chỉ có nghiệm $x=2\sqrt{2}$
Vây mà sao lượng giác hóa lại ra vô nghiệm? Mình sai chỗ nào chăng?

 

[nguyengiahoa10]

bài 3:
$\sqrt{x^2-3x+3}$+$\sqrt{x^2-3x+6}$=3
đặt t=x^2-3x+3 với t\geq0
\Leftrightarrow $\sqrt{t}$+$\sqrt{t+3}$=3
bình phương lên,biến đổi giải ra t=1
\Leftrightarrowx^2-3x+3=1 \Leftrightarrow x=1 và x=2 là 2no pt

Lại một cách đặt ẩn phụ khác nữa:
\[\begin{array}{l}
\sqrt {{x^2} - 3x + 3} + \sqrt {{x^2} - 3x + 6} = 3\\
t = \sqrt {{x^2} - 3x + 3} \Leftrightarrow {t^2} = {x^2} - 3x + 3 \Leftrightarrow {x^2} - 3x = {t^2} - 3\\
\Rightarrow t + \sqrt {{t^2} + 3} = 3 \Leftrightarrow \sqrt {{t^2} + 3} = 3 - t\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3 - t \ge 0\\
{t^2} + 3 = 9 - 6t + {t^2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
t \le 3\\
t = 1 \le 3
\end{array} \right.\\
\bullet \sqrt {{x^2} - 3x + 3} = 1 \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 1\\
x = 2
\end{array} \right.
\end{array}\]