[Toán 10] Phương trình

[emxaunhatlang]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: Cho [TEX]\sqrt{x+\sqrt{9-x}}[/TEX] = [TEX]\sqrt{-x^2+9x+m}[/TEX] . Tìm m để phương trình có nghiệm
Bài 2 : Tìm m để phương trình [TEX]\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{1-x}+\sqrt{x}+\sqrt{1-x}=m[/TEX] có nghiệm duy nhất

 

[dien0709]

[TEX]\sqrt{x+\sqrt{9-x}} = \sqrt{-x^2+9x+m}(1)[/TEX]

[TEX](1)\to dk(*); \to x+\sqrt{9-x}=x(9-x)+m[/TEX]

[TEX]t=\sqrt{9-x}\to xt^2-t+m-x=0 (2)\to \Delta_t=1-4x(m-x)=4x^2-4mx+1[/TEX]

(1) có nghiệm=>(2) có nghiệm[TEX]\to \Delta_t\geq 0 [/TEX]với mọi x thoả[TEX](*)[/TEX]

[TEX]\to \Delta'_x=4m^2-4\leq 0\to -1\leq m\leq 1[/TEX]

 

[lp_qt]

Bài 2
Gọi $x_0$ là nghiệm của phương trình

$\Longleftrightarrow \sqrt[4]{x_0}+\sqrt[4]{1-x_0}+\sqrt{x_0}+\sqrt{1-x_0}=m$

$\Longleftrightarrow \sqrt[4]{1-(1-x_0)}+\sqrt[4]{1-x_0}+\sqrt{1-(1-x_0)}+\sqrt{1-x_0}=m$

$\Longrightarrow (1-x_0)$ cũng là nghiệm của pt

$\Longrightarrow$ phương trình có nghiệm duy nhất khi $x_0=1-x_0$

$\Longleftrightarrow x_0=\dfrac{1}{2}$

$\Longrightarrow m=\sqrt{2}+\sqrt[4]{8}$

Thử lại:

$\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{1-x}+\sqrt{x}+\sqrt{1-x}=\sqrt{2}+\sqrt[4]{8}$

nhận xét:

$(\sqrt{x}+\sqrt{1-x})^{2}$ \leq $(x+1-x)(1^{2}+1^{2})=2$

$\Longrightarrow \sqrt{x}+\sqrt{1-x}$ \leq $\sqrt{2}$

$(\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{1-x})^{2}$ \leq $(\sqrt{x}+\sqrt{1-x})(1^{2}+1^{2})=2\sqrt{2}$

$\Longrightarrow \sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{1-x}$ \leq $\sqrt[4]{8}$

$\Longrightarrow \sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{1-x}+\sqrt{x}+\sqrt{1-x}$ \leq $\sqrt{2}+\sqrt[4]{8}$

dấu bằng xảy ra $\Longleftrightarrow \left\{\begin{matrix}\sqrt[4]{x}=\sqrt[4]{1-x}& \\ \sqrt{x}=\sqrt{1-x} \end{matrix}\right.$

$\Longleftrightarrow x=\dfrac{1}{2}$

vậy $m=\sqrt{2}+\sqrt[4]{8}$