$\fbox{1}.$
Đặt $\sqrt{1 + x}=a \ ; \ \sqrt{1 - x}=b$
$$\implies 4a - 1 = 3(a^2 - 1) + 2b + ab \\ \iff (a + b - 2)(2a - b) = 0$$
$\fbox{2}.$
\[\begin{array}{l}
\sqrt {2{x^2} + 8x + 6} + \sqrt {{x^2} - 1} = 2x + 2\left( 1 \right)\\
DK: \ \left\{ \begin{array}{l}
2{x^2} + 8x + 6 \ge 0\\
{x^2} - 1 \ge 0
\end{array} \right. \iff \left\{ \begin{array}{l}
x \ge - 1;x \le - 3\\
x \ge 1;x \le - 1
\end{array} \right.\\
\left( 1 \right) \iff \sqrt {2\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)} + \sqrt {\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)} - 2\left( {x + 1} \right) = 0\\
\iff \sqrt {x + 1} \left[ {\sqrt {2\left( {x + 3} \right)} + \sqrt {x - 1} - 2\sqrt {x + 1} } \right] = 0\\
\implies \left[ \begin{array}{l}
\sqrt {x + 1} = 0\\
\sqrt {2\left( {x + 3} \right)} + \sqrt {x - 1} - 2\sqrt {x + 1} = 0
\end{array} \right. \iff \left\{ \begin{array}{l}
x = - 1\\
x = 1
\end{array} \right.\left( {True} \right)
\end{array}\]
$\fbox{3}.$
$ĐK : \ \left[\begin{array}{l} x \leq 1\\x \geq 4\end{array}\right.$
* Trường hợp $ x \leq 1$
Bình phương hai vế của phương trình ban đầu :
$ \Rightarrow ( x - 1 )( x - 2 ) + ( x - 1 )( x - 3 ) + 2 \sqrt{( x - 1 )^2 ( x - 2 )( x - 3 )} = 4 \sqrt{[( x - 1 )( x - 4 )]^2}$
$ \Leftrightarrow ( x - 1 )[ x - 2 + x - 3 - 2 \sqrt{(x - 2)( x - 3 )} - 4(x - 4)] = 0$
$ \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = 1\\ -2x + 9 = 2\sqrt{( x - 2 )( x - 3 )} (2')\end{array}\right.$
Phương trình (2') tương đương với :
$ 4x^2 - 36x + 81 = 4 ( x^2 - 5x + 6)$
$ \Leftrightarrow -56x = - 57 \Rightarrow x = \dfrac{57}{56} (ktm)$
* Trường hợp $ x \geq 4$ .
Phương trình ban đầu tương đương với :
$ \sqrt{x - 1} ( \sqrt{x - 2} + \sqrt{x - 3} ) = 2\sqrt{x - 1}\sqrt{ x - 4}$
$ \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = 1 (ktm)\\\sqrt{x - 2} + \sqrt{x - 3} = 2 \sqrt{ x - 4} (2)\end{array}\right.$
Phương trình (2) có VT > VP . Vậy phương trình vô nghiệm với mọi $ x \geq 4$
Vậy phương trình có một nghiệm $x = 1.$
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn