[Toán 10] Phương trình và hệ phương trình chứa căn

[wolfthreehead00]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1)
[tex]\left\{ \begin{array}{l} x(x+y)+y^2=4x-1 \\ x(x+y)^2-2y^2=7x+2 \end{array} \right.[/tex]
2)
[tex]\left\{ \begin{array}{l} \sqrt{x+y-1}+\sqrt{3-x-y}=3x^2+3y^2+6xy-4x-4y-2 \\ 3x+5y=2^{(x+y+1)} \end{array} \right.[/tex]
3)
[TEX](x-1)^2+2(x+1)\sqrt{\frac{x-3}{x+1}}=12 [/TEX]
4)
[TEX]x^3-8x^2+13x+6+6(x-3)\sqrt{x^2-5x+5}=0[/TEX]
5)
[tex]\left\{ \begin{array}{l} \frac{6x}{y}-2=\sqrt{3x-y} +3y \\ 2\sqrt{3x+\sqrt{3x-y}}=6x+3y-4 \end{array} \right.[/tex]
6)
[tex]\left\{ \begin{array}{l} x^2+y^2+\frac{2xy}{x+y}=1 \\ \sqrt{x+y}=x^2-y \end{array} \right.[/tex]

 

[tranvanhung7997]

$4)$ $x^3 - 8x^2 + 13x + 6 + 6(x-3)\sqrt{x^2 - 5x + 5} = 0$
Điều kiện: $x^2 - 5x + 5 \ge 0$
PT <=> $(x - 3)(x^2 - 5x - 2) + 6(x-3)\sqrt{x^2 - 5x + 5} = 0$
<=> $(x - 3)(x^2 - 5x - 2 + 6\sqrt{x^2 - 5x + 5}) = 0$
<=> $x = 3$: không T/m ĐK
hoặc $x^2 - 5x - 2 + 6\sqrt{x^2 - 5x + 5} = 0 (1)$
Đặt $\sqrt{x^2 - 5x + 5} = a (a \ge 0)$
PT $(1)$ trở thành: $a^2 - 7 + 6a = 0$
<=> $(a + 7)(a - 1) = 0$
<=> $a = - 7$ (không T/m) hoặc $a = 1$ (T/m)
<=> $\sqrt{x^2 - 5x + 5} = 1$
<=> $x^2 - 5x + 5 = 1$
<=> $(x - 1)(x - 4) = 0$ <=> $x = 1 ; 4$ T/m
Vậy nghiệm của PT đã cho là: $x = 1 ; 4$

 

[tranvanhung7997]

$\left\{\begin{matrix}x^2 + y^2 + \dfrac{2xy}{x + y} = 1 \ \ \ \ (1) \\ \sqrt[]{x + y} = x^2 - y \ \ \ \ (2) \end{matrix}\right.$
ĐK $x + y > 0$
$(1)$ <=> $(x^2 + y^2)(x + y) + 2xy = x + y$
Đặt $x+ y = a ; xy = b$ $(a > 0)$. => $a^2 \ge 4b$
$(1) <=> (a^2 - 2b).a + 2b = a$
<=> $a^3 - a - 2ab + 2b = 0$
<=> $a(a - 1)(a + 1) - 2b(a - 1) = 0$
<=> $(a - 1)(a^2 - 2b + 1) = 0$
Do $a^2 \ge 4b => a^2 - 2b \ge 0$ và $a > 0$
$=> a^2 - 2b + 1 > 0$
$=> a = 1$ (T/m)
<=> $x + y = 1$. Thay vào (2) ta được: $1 = x^2 - (1 - x)$
<=> $x^2 + x - 2 = 0$
<=> $x = -2$ hoặc $ x = 1$
Vậy nghiệm HPT là: $(x; y) = (- 2; 3) ; (1 ; 0)$

 

[pe_lun_hp]

Cho em chơi mới

Bài 1:

[tex]\left\{ \begin{array}{l} x(x+y)+y^2=4x-1 \\ x(x+y)^2-2y^2=7x+2 \end{array} \right.[/tex]

Dễ thấy x=0 không phải là nghiệm của hệ. Chia 2 vế của hệ cho x ta được:

$\left\{ \begin{array}{l} x+y+\dfrac{y^2}{x}=4 - \dfrac{1}{x} \\ (x+y)^2- \dfrac{2y^2}{x}=7+\dfrac{2}{x} \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} (x+y) + \left(\dfrac{y^2}{x} + \dfrac{1}{x} \right) = 4 \\ (x+y)^2- 2 \left( \dfrac{y^2}{x} + \dfrac{1}{x} \right)=7 \end{array} \right.$

Đặt : $\left\{ \begin{array}{l} x+y=u \\ \dfrac{y^2}{x} + \dfrac{1}{x}=t \end{array} \right.$

Hệ trở thành :

$\left\{ \begin{array}{l} u+t=4 \\ u^2 - 2t=7 \end{array} \right.$

....

 

[tranvanhung7997]

$\left\{\begin{matrix}x(x + y) + y^2 = 4x - 1 \\ x(x + y)^2 - 2y^2 = 7x + 2 \end{matrix}\right.$
<=> $\left\{\begin{matrix}2x(x + y) + 2y^2 = 8x - 2 \\ x(x + y)^2 - 2y^2 = 7x + 2 \end{matrix}\right.$
Cộng theo vế 2 PT:
<=> $\left\{\begin{matrix}x(x + y) + y^2 = 4x - 1 \\ x[(x + y)^2 + 2(x + y)] = 15x \end{matrix}\right.$
<=> $\left\{\begin{matrix}x(x + y) + y^2 = 4x - 1 \\ x[(x + y)^2 + 2(x + y) - 15] = 0 \end{matrix}\right.$
<=> $\left\{\begin{matrix}x(x + y) + y^2 = 4x - 1 \\ x(x + y + 5)(x + y - 3) = 0 \end{matrix}\right.$
<=> $\left\{\begin{matrix}x(x + y) + y^2 = 4x - 1 \\ x = 0 \end{matrix}\right.$ hoặc $\left\{\begin{matrix}x(x + y) + y^2 = 4x - 1 \\ x + y = - 5 \end{matrix}\right.$ hoặc $\left\{\begin{matrix}x(x + y) + y^2 = 4x - 1 \\ x + y = 3 \end{matrix}\right.$
....................

 

[tranvanhung7997]

2) $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x + y - 1} + \sqrt{3 - x - y} = 3x^2 + 3y^2 + 6xy - 4x - 4y - 2 \\ 3x + 5y = 2(x + y + 1) \end{matrix}\right.$
Đặt $x + y = a$ $(a \ge 1)$ Ta có hệ mới:
$\left\{\begin{matrix} \sqrt{a - 1}+\sqrt{3 - a} = 3a^2 - 4a - 2 \\ (1) \\ 3a + 2y = 2a + 2 \\(2)\end{matrix}\right.$
Giải $(1):$ $(1)$ <=> $ \sqrt{a - 1} - 1 = 3(a^2 - 4) - 4(a - 2) + 1 - \sqrt{3 - a}$
<=> $\dfrac{a - 2}{\sqrt{a - 1} + 1} = (a - 2)(3a + 6) - 4(a - 2) + \dfrac{a - 2}{\sqrt{3 - a} + 1}$
Hoặc $a = 2$ (T/m)
Hoặc $\dfrac{1}{\sqrt{a - 1} + 1} = 3a + 2 + \dfrac{1}{\sqrt{3 - a} + 1}$
Do $a \ge 1 => \dfrac{1}{\sqrt{a - 1} + 1} \le 1 < 3a + 2 + \dfrac{1}{\sqrt{3 - a} + 1}$
=> PT VN
=> $x + y = 2$. Thay vào (2): $3.1 + 2y = 2.2 + 2$
<=> $y = \dfrac{3}{2}$ => $x = \dfrac{1}{2}$
Vậy nghiệm của hệ đã cho là: $(x; y) = (\dfrac{1}{2}; \dfrac{3}{2})$

 

[hoang_duythanh]

Bài 3:
pt\Leftrightarrow$(x-1)^2+2\sqrt[]{(x+1)(x-3)}=12$
\Leftrightarrow$x^2-2x+1+2\sqrt[]{x^2-2x-3}-12=0$
Đặt$\sqrt[]{x^2-2x-1}=a$(đk:a\geq0)
=> $(a+2)^2+2(a-2)-12=0$
\Leftrightarrow$a^2+6a-12=0$
Giải pt bậc 2=>a=..... so với đk xem có thỏa mãn hay không rồi tìm được x
Thử lại ........

 

[nguyenbahiep1]

3)
[TEX](x-1)^2+2(x+1)\sqrt{\frac{x-3}{x+1}}=12 [/TEX]

[laTEX]TH_1: x \geq 3 \\ \\ x^2-2x -3 + 2 \sqrt{x^2-2x-3} -8 = 0 \\ \\ u^2 + 2u-8 = 0 \\ \\ TH_2: x < -1[/laTEX]

 

[wolfthreehead00]

xin lỗi sai đề câu 2,đã fix đề,thnak các bạn giúp đở

 

[tranvanhung7997]

Nếu đề bài câu 2 là như thế thì cũng tương tự cách giải đề trước thôi
2) $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x + y - 1} + \sqrt{3 - x - y} = 3x^2 + 3y^2 + 6xy - 4x - 4y - 2 \\ 3x + 5y = 2^{(x + y + 1)} \end{matrix}\right.$
Đặt $x + y = a$ $(a \ge 1)$ Ta có hệ mới:
$\left\{\begin{matrix} \sqrt{a - 1}+\sqrt{3 - a} = 3a^2 - 4a - 2 \\ (1) \\ 3a + 2y = 2^{(a + 1)} \\(2)\end{matrix}\right.$
Giải $(1):$ $(1)$ <=> $ \sqrt{a - 1} - 1 = 3(a^2 - 4) - 4(a - 2) + 1 - \sqrt{3 - a}$
<=> $\dfrac{a - 2}{\sqrt{a - 1} + 1} = (a - 2)(3a + 6) - 4(a - 2) + \dfrac{a - 2}{\sqrt{3 - a} + 1}$
Hoặc $a = 2$ (T/m)
Hoặc $\dfrac{1}{\sqrt{a - 1} + 1} = 3a + 2 + \dfrac{1}{\sqrt{3 - a} + 1}$
Do $a \ge 1 => \dfrac{1}{\sqrt{a - 1} + 1} \le 1 < 3a + 2 + \dfrac{1}{\sqrt{3 - a} + 1}$
=> PT VN
=> $x + y = 2$. Thay vào (2): $3.1 + 2y = 2^{(2 + 1)}$
<=> $y = \dfrac{5}{2} => x = \dfrac{-1}{2}$
Vậy nghiệm là: $(x; y) = ( \dfrac{-1}{2} ; \dfrac{5}{2})$