[toán 10] Phương trình, hệ phương trình

[l94]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

ai mần giúp tớ bài này, được tớ sẽ thank cho
[tex]\left\{ \begin{array}{l} xy+x+1=7y \\ x^2y^2+xy+1=13y^2 \end{array} \right.[/tex]

 

[duynhan1]

ai mần giúp tớ bài này, được tớ sẽ thank cho
[tex]\left\{ \begin{array}{l} xy+x+1=7y \\ x^2y^2+xy+1=13y^2 \end{array} \right.[/tex]

Hướng dẫn nhé

Nhận xét với y=0 thì hệ đã cho vô nghiệm.

Với [TEX]y \not=0[/TEX] thì chia pt(1) cho y, pt(2) cho y^2 ta nhận được 1 hệ đối xứng.
Đặt : [TEX]S= x + \frac{1}{y},\ P = x . \frac{1}{y}[/TEX]

 

[l94]

giải pt

giải các pt sau:
[tex]\sqrt[3]{2x-1}=x\sqrt[3]{16}-\sqrt[3]{2x+1}[/tex]
[tex]\sqrt{(x+2)(2x-1)}-3\sqrt{x+6}=4-\sqrt{(x+6)(2x-1)}+3\sqrt{x+2}[/tex]
2 bài này mình giải ra rồi nhưng mình muốn tìm nhiều cách giải khác nhau.

 

[l94]

phương trình.

giải pt:
[tex]\sqrt{4x^2+5x+1}-2\sqrt{x^2-x+1}=9x-3[/tex]
mọi người giải nha, nhiều cách thì càng tốt.thks.

 

[duynhan1]

[tex]\sqrt{(x+2)(2x-1)}-3\sqrt{x+6}=4-\sqrt{(x+6)(2x-1)}+3\sqrt{x+2}[/tex]

[TEX]DK : x \ge \frac12[/TEX]
[TEX](pt) \Leftrightarrow (\sqrt{x+6} + \sqrt{x+2} )( \sqrt{2x-1} - 3) = 4 \ \ \ \ (1)[/TEX]
Do [TEX]\sqrt{x+6} - \sqrt{x+2} > 0 [/TEX] nên ta có phương trình tương đương với :
[TEX]\sqrt{2x-1} -3 = \sqrt{x+6} - \sqrt{x+2} [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sqrt{2x-1} + \sqrt{ x+2} - \sqrt{x+6} = 3 [/TEX]
[TEX]VT\ dong\ bien.[/TEX] nên ta có phương trình có nghiệm duy nhất [TEX]x=7[/TEX]

P/s: Có thể đánh giá ngay từ phương trình (1).
Dễ thấy : [TEX]\sqrt{2x-1} -3 > 0 \Leftrightarrow x > 5[/TEX]

Với x=7 là 1 nghiệm của phương trình.
Với x<7 ta có :
[TEX]\left{ \sqrt{x+6} + \sqrt{x+2} < 3 + \sqrt{13} \\ 0< \sqrt{2x-1} -3< \sqrt{13}-3 \right. \Rightarrow (\sqrt{x+6} + \sqrt{x+2} )( \sqrt{2x-1} - 3) < 4 [/TEX]
Với x>7 tương tự ta cũng có :
[TEX] (\sqrt{x+6} + \sqrt{x+2} )( \sqrt{2x-1} - 3) > 4 [/TEX]
vậy x =7 là nghiệm duy nhất của phương trình

 

[bananamiss]

giải pt:
[tex]\sqrt{4x^2+5x+1}-2\sqrt{x^2-x+1}=9x-3[/tex]
mọi người giải nha, nhiều cách thì càng tốt.thks.

[TEX]\Leftrightarrow 4\sqrt{4x^2+5x+1}-8\sqrt{x^2-x+1}=36x-12[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 16(x^2-x+1)-8\sqrt{x^2-x+1}+1=4(4x^2+5x+1)-4\sqrt{4x^2+5x+1}+1[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (4\sqrt{x^2-x+1}-1)^2=(2\sqrt{4x^2+5x+1}-1)^2[/TEX]

 

[duynhan1]

giải pt:
[tex]\sqrt{4x^2+5x+1}-2\sqrt{x^2-x+1}=9x-3 (1) [/tex]
mọi người giải nha, nhiều cách thì càng tốt.thks.

Điều kiện:....
[TEX]\left{ a = \sqrt{4x^2+5x+1} \\ b = 2 \sqrt{x^2-x+1} ( b \ge \sqrt{3} ) \right. \\ \Rightarrow a^2 - b^2 = ( 4x ^2+5x+1)- ( 4x^2-4x+4) = 9x -3 [/TEX]
Ta có:
[TEX](1) \Leftrightarrow a- b = a^2-b^2 \\ \Leftrightarrow \left[ a+b = 1(VN) \\ a- b = 0 [/TEX]

 

[01263812493]

[TEX]\blue \left{5x^2y-4xy^2+3y^3-2(x+y)=0\\ xy(x^2+y^2)=(x+y)^2\\ x,y \in R[/TEX] :-??

 

[miko_tinhnghich_dangyeu]

[TEX]\blue \left{5x^2y-4xy^2+3y^3-2(x+y)=0\\ xy(x^2+y^2)=(x+y)^2\\ x,y \in R[/TEX] :-??

+Xét x=0 và y=0 là nghiệm của phương trình

+Xét x và y khác 0

đặt y=xt

=> phương trình 1 trở thành :

[TEX]5x^3t-4x^3t^2+3x^3t^3=2(x+xt)[/TEX]

[TEX]\Rightarrow 3t^3-4t^2+3t-2=0[/TEX]

[TEX]\Rightarrow t=1[/TEX]

[TEX]\Rightarrow x=y[/TEX]

thế vào phương trình 2 ta có đc nghiệm của hệ :

[TEX](x,y)=(\sqrt[]{2};\sqrt[]{2})(-\sqrt[]{2};-\sqrt[]{2})[/TEX]

hơi giống cái đề thi ĐH khối A năm ni :-?

[TEX]\blue \left{5x^2y-4xy^2+3y^3-2(x+y)=0\\ xy(x^2+y^2)+2=(x+y)^2\\ x,y \in R[/TEX]

 

[l94]

Còn bài căn bậc 3, ai có cách giải nào mới không?.đặt ẩn phụ hay đưa về hệ pt cũng được.(ngoại trừ những cách "truyền thống" ra=.=)

 

[nerversaynever]

giải các pt sau:
[tex]\sqrt[3]{2x-1}=x\sqrt[3]{16}-\sqrt[3]{2x+1}[/tex]

2 bài này mình giải ra rồi nhưng mình muốn tìm nhiều cách giải khác nhau.

Cách sài hệ

[TEX]\begin{array}{l} \sqrt[3]{{2x - 1}} = \sqrt[3]{{16}}.x - \sqrt[3]{{2x + 1}} \Leftrightarrow \sqrt[3]{{8x + 4}} + \sqrt[3]{{8x - 4}} = 4x(1) \\ \left\{ \begin{array}{l} u = \sqrt[3]{{8x + 4}} \\ v = \sqrt[3]{{8x - 4}} \\ \end{array} \right. = > x = \frac{{u^3 + v^3 }}{{16}} \\ (1) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} u + v = \frac{{u^3 + v^3 }}{4} \\ u^3 - v^3 = 8 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left( {u + v} \right)\left( {u^2 - uv + v^2 - 4} \right) = 0 \\ u^3 - v^3 = 8 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} u + v = 0 \\ u^3 - v^3 = 8 \\ \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} u^2 - uv + v^2 = 4 \\ u^3 - v^3 = 8 \\\end{array} \right. \\ \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} u + v = 0 \\u^3 - v^3 = 8 \\\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 0 \\ \left\{ \begin{array}{l} u^2 - uv + v^2 = 4 \\ u^3 - v^3 = 8 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left( {u - v} \right)^2 + uv = 4 \\ \left( {u - v} \right)^3 + 3uv\left( {u - v} \right) = 8 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} u - v = 2 \\ uv = 0 \\ \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} u - v = - 1 + \sqrt 3 \\ uv = 2\sqrt 3 \\\end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l}u - v = - 1 - \sqrt 3 \\ uv = - 2\sqrt 3 \\ \end{array} \right.(loai) \\ \end{array} \right. \\\left\{ \begin{array}{l}u - v = 2 \\ uv = 0 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow x = \pm \frac{1}{2} \\\left\{ \begin{array}{l} u - v = - 1 + \sqrt 3 \\ uv = 2\sqrt 3 \\\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} u = \frac{{ - 1 + \sqrt 3 + \sqrt {4 + 6\sqrt 3 } }}{2} \\ v = \frac{{1 - \sqrt 3 + \sqrt {4 + 6\sqrt 3 } }}{2} \\\end{array} \right. \vee \left\{ \begin{array}{l} u = \frac{{ - 1 + \sqrt 3 - \sqrt {4 + 6\sqrt 3 } }}{2} \\ v = \frac{{1 - \sqrt 3 - \sqrt {4 + 6\sqrt 3 } }}{2} \\\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{{4 + \left( {\frac{{1 - \sqrt 3 + \sqrt {4 + 6\sqrt 3 } }}{2}} \right)^3 }}{8} \vee x = \frac{{4 + \left( {\frac{{1 - \sqrt 3 - \sqrt {4 + 6\sqrt 3 } }}{2}} \right)^3 }}{8} \\ \\ \end{array}[/TEX]

KL [TEX]x = \frac{{4 + \left( {\frac{{1 - \sqrt 3 + \sqrt {4 + 6\sqrt 3 } }}{2}} \right)^3 }}{8};x = \frac{{4 + \left( {\frac{{1 - \sqrt 3 - \sqrt {4 + 6\sqrt 3 } }}{2}} \right)^3 }}{8};x = 0;x = \pm \frac{1}{2}[/TEX]

 

[duynhan1]

giải các pt sau:
[tex]\sqrt[3]{2x-1}=x\sqrt[3]{16}-\sqrt[3]{2x+1 } (1) [/tex]

Cách truyền thống là cách nào nhỉ

Lập phương 2 vế ta có :
[TEX](\sqrt[3]{2x-1} + \sqrt[3]{2x+1})^3 = 16 x^3 [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 4x + 3 .\sqrt[3]{4x^2-1} (\sqrt[3]{2x-1} + \sqrt[3]{2x+1}) = 16x^3 (2)[/TEX]
Thay (1) vào (2) ta có :
[TEX] 4x + 3. \sqrt[3]{4x^2-1} . x. \sqrt[3]{16} = 16x^3 \\ \Leftrightarrow \left[ x = 0 \\ 16x^2 - 4 = 3 \sqrt[3]{16(4x^2-1)} [/TEX]
....
Giải xong nhớ thử lại nghiệm!

 

[01263812493]

+Xét x=0 và y=0 là nghiệm của phương trình
+Xét x và y khác 0
đặt y=xt
=> phương trình 1 trở thành :
[TEX]5x^3t-4x^3t^2+3x^3t^3=2(x+xt)[/TEX]
[TEX]\Rightarrow 3t^3-4t^2+3t-2=0[/TEX]
[TEX]\Rightarrow t=1[/TEX]
[TEX]\Rightarrow x=y[/TEX]
thế vào phương trình 2 ta có đc nghiệm của hệ :
[TEX](x,y)=(\sqrt[]{2};\sqrt[]{2})(-\sqrt[]{2};-\sqrt[]{2})[/TEX]

hơi giống cái đề thi ĐH khối A năm ni :-?

Hình như [TEX]x=y=\pm 1 [/TEX] cũng là nghiệm của hệ :-??, ai có cách nào ra luôn hk....

Cách sài hệ

[TEX]\begin{array}{l} \sqrt[3]{{2x - 1}} = \sqrt[3]{{16}}.x - \sqrt[3]{{2x + 1}} \Leftrightarrow \sqrt[3]{{8x + 4}} + \sqrt[3]{{8x - 4}} = 4x(1) \\ \left\{ \begin{array}{l} u = \sqrt[3]{{8x + 4}} \\ v = \sqrt[3]{{8x - 4}} \\ \end{array} \right. = > x = \frac{{u^3 + v^3 }}{{16}} \\ (1) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} u + v = \frac{{u^3 + v^3 }}{4} \\ u^3 - v^3 = 8 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left( {u + v} \right)\left( {u^2 - uv + v^2 - 4} \right) = 0 \\ u^3 - v^3 = 8 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} u + v = 0 \\ u^3 - v^3 = 8 \\ \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} u^2 - uv + v^2 = 4 \\ u^3 - v^3 = 8 \\\end{array} \right. \\ \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} u + v = 0 \\u^3 - v^3 = 8 \\\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 0 \\ \left\{ \begin{array}{l} u^2 - uv + v^2 = 4 \\ u^3 - v^3 = 8 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left( {u - v} \right)^2 + uv = 4 \\ \left( {u - v} \right)^3 + 3uv\left( {u - v} \right) = 8 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} u - v = 2 \\ uv = 0 \\ \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} u - v = - 1 + \sqrt 3 \\ uv = 2\sqrt 3 \\\end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l}u - v = - 1 - \sqrt 3 \\ uv = - 2\sqrt 3 \\ \end{array} \right.(loai) \\ \end{array} \right. \\\left\{ \begin{array}{l}u - v = 2 \\ uv = 0 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow x = \pm \frac{1}{2} \\\left\{ \begin{array}{l} u - v = - 1 + \sqrt 3 \\ uv = 2\sqrt 3 \\\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} u = \frac{{ - 1 + \sqrt 3 + \sqrt {4 + 6\sqrt 3 } }}{2} \\ v = \frac{{1 - \sqrt 3 + \sqrt {4 + 6\sqrt 3 } }}{2} \\\end{array} \right. \vee \left\{ \begin{array}{l} u = \frac{{ - 1 + \sqrt 3 - \sqrt {4 + 6\sqrt 3 } }}{2} \\ v = \frac{{1 - \sqrt 3 - \sqrt {4 + 6\sqrt 3 } }}{2} \\\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{{4 + \left( {\frac{{1 - \sqrt 3 + \sqrt {4 + 6\sqrt 3 } }}{2}} \right)^3 }}{8} \vee x = \frac{{4 + \left( {\frac{{1 - \sqrt 3 - \sqrt {4 + 6\sqrt 3 } }}{2}} \right)^3 }}{8} \\ \\ \end{array}[/TEX]

KL [TEX]x = \frac{{4 + \left( {\frac{{1 - \sqrt 3 + \sqrt {4 + 6\sqrt 3 } }}{2}} \right)^3 }}{8};x = \frac{{4 + \left( {\frac{{1 - \sqrt 3 - \sqrt {4 + 6\sqrt 3 } }}{2}} \right)^3 }}{8};x = 0;x = \pm \frac{1}{2}[/TEX]

Bài này chỉ công nhận 1 câu: gõ tex hay thật...

 

[l94]

Cách truyền thống là cách nào nhỉ

Lập phương 2 vế ta có :
[TEX](\sqrt[3]{2x-1} + \sqrt[3]{2x+1})^3 = 16 x^3 [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 4x + 3 .\sqrt[3]{4x^2-1} (\sqrt[3]{2x-1} + \sqrt[3]{2x+1}) = 16x^3 (2)[/TEX]
Thay (1) vào (2) ta có :
[TEX] 4x + 3. \sqrt[3]{4x^2-1} . x. \sqrt[3]{16} = 16x^3 \\ \Leftrightarrow \left[ x = 0 \\ 16x^2 - 4 = 3 \sqrt[3]{16(4x^2-1)} [/TEX]
....
Giải xong nhớ thử lại nghiệm!

Thì cách truyền thống là cách lập phương ý, cách đó dở(kiểu cần cù bù thông minh=.=).
bạn còn cách nào khác không?
p/s:nếu phải thử lại nghiệm thì duynhan dùng dấu suy ra thì đúng nghĩa hơn là dấu tương đương, vì đây k có hệ quả.còn không thì đặt đề bài vào chung hệ luôn
còn cách của anh never thì khá hay, nhưng mà dài quá=.=thks mọi người nhiều

Mình dùng chữ không dùng dấu gì nhé !!!
Cách này ngắn mà ^^

 

[duynhan1]

+Xét x=0 và y=0 là nghiệm của phương trình

+Xét x và y khác 0

đặt y=xt

=> phương trình 1 trở thành :

[TEX]5x^3t-4x^3t^2+3x^3t^3=2(x+xt)[/TEX]

[TEX]\red \bold \Rightarrow 3t^3-4t^2+3t-2=0[/TEX]

[TEX]\Rightarrow t=1[/TEX]

[TEX]\Rightarrow x=y[/TEX]

thế vào phương trình 2 ta có đc nghiệm của hệ :

[TEX](x,y)=(\sqrt[]{2};\sqrt[]{2})(-\sqrt[]{2};-\sqrt[]{2})[/TEX]

hơi giống cái đề thi ĐH khối A năm ni :-?

Không phải phương trình đồng bậc mà !!!

 

[01263812493]

Không phải phương trình đồng bậc mà !!!

[TEX]\blue \left{5x^2y-4xy^2+3y^3-2(x+y)=0\\ xy(x^2+y^2)+2=(x+y)^2 \\ x,y \in R[/TEX]
Nếu đề thế này thì sao anh :|

 

[duynhana1]

[TEX]\blue \left{5x^2y-4xy^2+3y^3-2(x+y)=0\\ xy(x^2+y^2)+2=(x+y)^2 \\ x,y \in R[/TEX]
Nếu đề thế này thì sao anh :|

Đề thế này thì từ hệ 2 ta suy ra được :
[TEX]\left[ xy = 1\\ x^2+y^2 = 2[/TEX]
Từ đó nhân vào cái sau thì có phương trình đồng bậc Thực ra trường hợp ban đầu thế vào thì ra phương trình trùng phương cho khỏe

 

[01263812493]

Đề thế này thì từ hệ 2 ta suy ra được :
[TEX]\left[ xy = 1\\ x^2+y^2 = 2[/TEX]
Từ đó nhân vào cái sau thì có phương trình đồng bậc Thực ra trường hợp ban đầu thế vào thì ra phương trình trùng phương cho khỏe

Đồng bậc sao anh :-??, em hơi bị ngu :|

[tex]5x^2y - 4xy^2 + 3y^3 - (x^2+y^2)(x+y)=0 [/tex]