[Toán 10] Phương trình hàm

[huynhbachkhoa23]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn cả hai điều kiện sau:
(i) $f(x)=x$ với mọi $x\in\mathbb{Q}$
(ii) $f(x)>f(y)$ nếu và chỉ nếu $x>y$ với $x,y\in\mathbb{R}$

 

[huynhbachkhoa23]

Đầu tiên ta chứng minh mệnh đề sau đúng: "Cho hai số thực $a,b$ thỏa mãn $a<b$. Tồn tại số hữu tỉ $q$ sao cho $a<q<b$"
Xét dãy hữu tỉ $q_n=b-\dfrac{\{b.10^n\}}{10^n}<b$. Nếu với mọi $n\in\mathbb{N}$ mà $q_n<a$ thì $b<a$ vô lý. Do đó ta có điều phải chứng minh.
Trở lại bài toán.
Nếu tồn tại giá trị $x$ sao cho $f(x)>x$. Khi đó tồn tại $q\in\mathbb{Q}$ sao cho $f(x)>q>x$ (Theo mệnh đề đã chứng minh)
Tác dụng hàm $f$ vào hai vế và sử dụng $(ii)$ ta được $q>x$ tương đương với $q=f(q)>f(x)>q$ vô lý.
Tương tự với trường hợp $f(x)<x$. Vậy $f(x)\equiv x$

 

[angleofdarkness]

Cần chứng minh f(x) là đơn ánh trước chứ nhỉ ???

 

[huynhbachkhoa23]

Cần chứng minh f(x) là đơn ánh trước chứ nhỉ ???

Em nghĩ điều kiện (ii) là không cần đơn ánh nữa, phải không chị?