[Toán 10] Phương trình + BĐT

[hocdelamgihihi]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

$\begin{cases} a^2+b^2+c^2=2 \\ ab+bc+ca=1 \end{cases} $

CMR:

$-\dfrac{ 4}{3} \le a+b+c \le \dfrac{ 4}{3}$

:|:|:|:|

Học gõ LaTeX nếu không muốn bị xóa bài lần sau: http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?t=247845

 

[eye_smile]

Đề bài phải là $\dfrac{-4}{3} \le a;b;c \le \dfrac{4}{3}$


$a^2+b^2=2-c^2=(a+b)^2-2ab=(a+b)^2-2+2c(a+b)$


\Leftrightarrow $(a+b)^2+2c(a+b)+c^2=4$

\Leftrightarrow $(a+b+c)^2=4$

\Leftrightarrow $a+b+c=2$ hoặc $a+b+c=-2$

+$a+b+c=2$ \Rightarrow $a+b=2-c$

\Rightarrow $ab=(c-1)^2$

\Rightarrow a;b là nghiệm của pt:

$t^2-(2-c)t+(c-1)^2=0$

\Rightarrow $\Delta \ge 0$

\Leftrightarrow $0 \le c \le \dfrac{4}{3}$

+$a+b+c=-2$ \Rightarrow tương tự.

 

[huynhbachkhoa23]

$a+b+c=\pm \sqrt{a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)}=\pm 2$

Trường hợp $a+b+c=2$:
$2(a^2+b^2) \overset{B.C.S}{\ge} (a+b)^2 \leftrightarrow 2(2-c^2) \ge (2-c)^2 \leftrightarrow c(3c-4) \le 0 \leftrightarrow 0 \le c \le \dfrac{4}{3}$

Trường hợp $a+b+c=-2$
$2(a^2+b^2) \overset{B.C.S}{\ge} (a+b)^2 \leftrightarrow 2(2-c^2) \ge (c+2)^2 \leftrightarrow c(3c+4) \le 0 \leftrightarrow 0 \ge c \ge -\dfrac{4}{3}$

Vì vai trò $a,b,c$ bình đẳng nên ta có $a,b,c \in \left[\dfrac{-4}{3}; \dfrac{4}{3} \right ]$