$$3\overrightarrow{OG}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\\
\begin{aligned} \Rightarrow 9OG^2&=OA^2+OB^2+OC^2+2\sum \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}\\ &=3R^2+\sum (OA^2+OB^2-AB^2)\\&=9R^2-(a^2+b^2+c^2)\end{aligned}\\ \Rightarrow 3OG=\sqrt{9R^2-(a^2+b^2+c^2)}$$
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