[Toán 10]một số phương pháp cm bdt

[maiminhtien]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Phương pháp 1: Phương pháp dựa vào định nghĩa
- Lập hiệu A-B
- Biến đổi biểu thức (A-B) và chứng minh A-B \geq0
- Kết luận A\geqB
- Xét trường hợp A=B khi nào
Phương pháp 2: Phương pháp chứng minh trực tiếp
- Biến đổi vế phức tạp, thường là vế trái:A=A1=A2=...=M+B^2
vì B^2\geq0nên M+B^2\geqM
=>A\geqM
Dấu “ =” sảy ra khi và chỉ khi M=0
Phương pháp 3: Phương pháp so sánh
- Biến đổi riêng từng vế rồi so sánh kết quả. Suy ra đpcm.
A=A1=A2=..=An
B=B1=B2=...=BnPhương pháp4: Dùng tính chất tỉ số
Cho 3 số dương a,b,c :
Nếu \frac{a}{b}<1 thì \frac{a}{b}<a+c/b+c
Nếu\frac{a}{b}>1 thì \frac{a}{b}>a+c/b+c\frac{(a+c)}{(b+c)}" type="#_x0000_t75">
Nếu b,d>o thì từ a/b<c/d\Rightarrowa/b<(a+c)/(b+d)<c/d
Phương pháp 5: Dùng phép biến đổi tương đương
Ta biến đổi BĐT cần chứng minh tương đưng với BĐT đúng hoặc BĐT đã được chứng minh đúng.
Chú ý các BĐT sau:
- Bình phương của tổng, hiệu
- Lập phương của tổng, hiệu
Phương pháp 6: Phương pháp làm trội

Dùng tính chẩt của BĐT để đưa một vế của BĐT cần chứng minh về dạng để tính tổng hữa hạn hoặc tích hữu hạn.
- Phương pháp chung để tính tổng hữu hạn: Sn=u1+u2+u3+..+un
là biểu diễn số hạng tổng quát uk về hiệu của 2 số hạng liên tiếp nhau : Uk=Ak-Ak+1
Lúc đó : Sn=(a1-a2)+(a3-a4)+...+(an-An+1)

-Phương pháp chung để tính tích hữu hạn là biểu diễn số hạng tổng quát về thương của 2 số hạng liên tiếp nhau
Lúc đó
Phương pháp 7hương pháp lượng giác

Sử dụng điều kiện của biếnk>0" type="#_x0000_t75">
Đặt x=ksina với hoặc x=kcosa với
Phương pháp 8: Dùng BĐT trong tam giác

Nếu a,b,c là số đó 3 cạnh của một tam giác thì a,b,c>0 và |b-c|<a<b+c
|a-c|<b<a+c
|a-b|<c<a+b
Phương pháp 9: Dùng phương pháp quy nạp

Để chứng minh BĐT T(n) : n là số tự nhiên ta thực hiện các bước sau :
+ Chứng minh BĐT T(1) đúng( Kiểm tra mệnh đề đúng với số nhỏ nhất)
+ Giả sử BĐT T(k) đúng
+ Ta chứng minh BĐT T(k+1) cũng đúng
Khi đó BĐT T(n) đúng với mọi n
Phương pháp 10: Sử dụng tính chất hàm lồi

Cho hàm số f(a,b) -> R có tính chất :

Dấu của đẳng thức sảy ra khi và chỉ khi x1=x2
Khi đó: (1)
với mọi x1, x2 thuộc (a,b) và dấu đẳng thức sảy ra khi và chỉ khi
Phương pháp 11: Dùng miền giá trị hàm

Bài toán: Chứng minh rằng B<f(x) <A với mọi x.
Đặt y=f(x) <=> y-f(x)=0 ( * )
Biện luận phương trình ( * ) theo y, =>
=>đpcm

Phương pháp 12: Dùng tam thức bậc 2
(*Định lí về dấu tam thức bậc 2:<SPAN style="FONT-FAMILY: Arial; COLOR: brown; FONT-SIZE: 9.5pt">
Cho tam thứcbậc 2 :f(x) (a khác 0)
+ Nếu lập bảng xét dấu
*Định lí đảo về dấu cho tam thức bậc 2:
Cho:f(x) (a khác 0)
Nếu tồn tại sao cho af(x)<p thì f(x) có 2 nghiệm pb và

 

[maiminhtien]

Hệ quả: Nếu tồn tại sao cho thì f(x) có 2 nghiệm pb và trong 2 số có một số nằm
Phương pháp 13: Dùng đạo hàm
Dạng 1: Dùng tính đơn điệu của hàm số
Hàm số f(x) liên tục trên [a,b] và có đạo hàm trên (a,b)
+ Nếu f(x)>0 với mọi x thuộc (a,b)thì hàm f(x) tăng trên [a,b]. Khi đó mọi x>a thì f(x)>f(a)
+ Nếu f'(x)<o mọi x thuộc (a,b) thì hàm f giảm trên [a,b]. Khi đó với mọi x>a thì f(x)<f(a)
Ngoài ra còn có 1 số phương pháp để cm nữa

1.Dồn biến : Mục đích đặt ra ta giảm dần biến số đi để cuối cùng chỉ cần cm bdt 1 biến , với điều này công việc của ta chỉ là đạo hàm thôi
Muốn CM minh ta CM : . Sau đó CM .
Ngoài ra có thể dồn theo trung bình nhân , trung bình điều hòa .

Cụ thể ở đây (nguồn Lê Quý Bảo ) http://olympiavn.org/forum/index.php?action=dlattach;topic=42150.0;attach=7653hoặc download bằng link bên dưới OK?

2.SOS : phương pháp đưa về các tổng bình phương
đa số BĐT xuất phát từ . vì vậy phương pháp này có ý tương khá tự nhiên . sau khi đưa về được dạng

Chỉ cần kiểm tra 1 số tiêu chuẩn ta thu được đpcm

3. Các hàm sơ cấp đối xứng 3 biến

Đặt




ta đưa về được theo p,q,r . Từ đây cm bdt theo p,q,r . Kết hợp với BDT schur ta có đpcm.