Cho tam giác ABC chứng minh: $cosA + cosB +cosC =3/2$ thì ABC là tam giác đều.
V vophung 29 Tháng ba 2015 #1 [TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!! ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn. Cho tam giác ABC chứng minh: $cosA + cosB +cosC =3/2$ thì ABC là tam giác đều. Last edited by a moderator: 29 Tháng ba 2015
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!! ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn. Cho tam giác ABC chứng minh: $cosA + cosB +cosC =3/2$ thì ABC là tam giác đều.
L lp_qt 29 Tháng ba 2015 #2 $cosA+cosB+cosC+cos\dfrac{\pi }{3}$ $=2.cos\dfrac{A+B}{2}.cos\dfrac{A-B}{2}+2.cos(\dfrac{C}{2}+\dfrac{\pi }{6}).cos(\dfrac{C}{2}-\dfrac{\pi }{6})$ $\le 2.cos\dfrac{A+B}{2}+2.cos(\dfrac{C}{2}+\dfrac{\pi }{6})=4.cos(\dfrac{A+B+C}{12}+\dfrac{\pi }{12}).cos(\dfrac{A+B+C}{12}-\dfrac{\pi }{12})$ $\le 4.cos(\dfrac{A+B+C}{12}+\dfrac{\pi }{12})=4.cos\dfrac{\pi }{3}$ \Rightarrow $cosA+cosB+cosC+cos \le 3.cos\dfrac{\pi }{3}=\dfrac{3}{2}$ dấu = xảy ra khi $A=B=C$
$cosA+cosB+cosC+cos\dfrac{\pi }{3}$ $=2.cos\dfrac{A+B}{2}.cos\dfrac{A-B}{2}+2.cos(\dfrac{C}{2}+\dfrac{\pi }{6}).cos(\dfrac{C}{2}-\dfrac{\pi }{6})$ $\le 2.cos\dfrac{A+B}{2}+2.cos(\dfrac{C}{2}+\dfrac{\pi }{6})=4.cos(\dfrac{A+B+C}{12}+\dfrac{\pi }{12}).cos(\dfrac{A+B+C}{12}-\dfrac{\pi }{12})$ $\le 4.cos(\dfrac{A+B+C}{12}+\dfrac{\pi }{12})=4.cos\dfrac{\pi }{3}$ \Rightarrow $cosA+cosB+cosC+cos \le 3.cos\dfrac{\pi }{3}=\dfrac{3}{2}$ dấu = xảy ra khi $A=B=C$
L lp_qt 29 Tháng ba 2015 #3 cách khác $cosA+cosB+cosC \le \dfrac{3}{2}$ \Leftrightarrow $2.cos\dfrac{A+B}{2}.cos\dfrac{A-B}{2}+1-2.sin^2\dfrac{C}{2}+\dfrac{3}{2} \le 0$ \Leftrightarrow $-2.sin^2\dfrac{C}{2}+2.sin\dfrac{C}{2}.cos\dfrac{A-B}{2}-\dfrac{1}{2} \le 0$ $f(t)=-2t^2+2t.cos\dfrac{A-B}{2}-\dfrac{1}{2}$ $\Delta '=cos^2\dfrac{A-B}{2}-1\le 0$ \Rightarrow $f(t) \le 0$ \Rightarrow đpcm
cách khác $cosA+cosB+cosC \le \dfrac{3}{2}$ \Leftrightarrow $2.cos\dfrac{A+B}{2}.cos\dfrac{A-B}{2}+1-2.sin^2\dfrac{C}{2}+\dfrac{3}{2} \le 0$ \Leftrightarrow $-2.sin^2\dfrac{C}{2}+2.sin\dfrac{C}{2}.cos\dfrac{A-B}{2}-\dfrac{1}{2} \le 0$ $f(t)=-2t^2+2t.cos\dfrac{A-B}{2}-\dfrac{1}{2}$ $\Delta '=cos^2\dfrac{A-B}{2}-1\le 0$ \Rightarrow $f(t) \le 0$ \Rightarrow đpcm