[Toán 10]Làm ơn giúp dùng mình bài bất đẳng thức này với

[comsd9x]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho abc = 1
Chứng minh rằng
$$\frac{a}{b + c +1}$$ + $$\frac{b}{c + a +1}$$ + $$\frac{c}{b+ a +1 }$$ \geq 1
Mình không biết gõ . Nó k có dấu ? bên dưới đâu . Viết là như này
a / ( b+c+1) + b/ ( a+c+1) + c /( a +b +1 ) \geq 1

 

[hoangtuan_241190]

cho:[TEX]a,b,c\geq0 , abc =1 [/TEX]chứng minh rằng:
[TEX]a/(b+c+1) + b/(c+a+1) +c/(a+b+1) \geq1 (1)[/TEX]
giải:
bổ đề1:cho: x,y,z>0,a,b,c tuy ý CMR:[TEX]a^2/x +b^2/y +c^2/z \geq (a+b+c)^2/(x+y+z)[/TEX]
bổ đề 2: cmr:[TEX]3(ab+ac+bc)\leq(a+b+c)^2[/TEX]
các bạn tự chứng minh các bổ đề này nhé(có 2 cách để cm bổ đề trên )
(1)\Leftrightarrow[TEX]a^2/(ab+ac+a) +b^2/(bc+ba+b) +c^2/(ac+bc+c) \geq 1(2)[/TEX]
áp dụng bổ đề 1 cho vế trái của (2) ta có:
[TEX]VT(2) \geq (a+b+c)^2/( 2(ab+ac+bc) +(a+b+c)) (3)[/TEX]
theo bổ đề 2\Rightarrow[TEX]VP(3)\geq x^2/(2/3 x^2 +x) =x/(2/3 x+1).[/TEX]ở đây x=a+b+c
bây giờ ta chứng minh cho [TEX]x/(2/3 x+1)\geq1(4)[/TEX] là xong
thật vậy:có[TEX]x^3=(a+b+c)^3\geq27abc=27\Leftrightarrow x \geq3 \Leftrightarrow x\geq2/3 x+1[/TEX]\Rightarrow(4) đúng\Rightarrowđpcm

 

[hoangtuan_241190]

theo mình ngoài nhớ các bất đẳng thức côsi hay bunhia các bạn cần nhớ thêm bất đẳng thức:[TEX]a^2/x+b^2/y +c^2/z \geq(a+b+c)^2/(x+y+z)[/TEX]
mà bất đẳng thức này đươc chứng minh rất đơn bẳng bunhia hoăc: [TEX](a-b)^2\geq0[/TEX]
sau đây là 3 bài tập để các bạn làm quen bất đẳng thức trên
bài 1:cho a,b,c>0 CMR:[TEX]a/(b+c) + b/(c+a) +c/(a+b) \geq3/2[/TEX]
bài2 :cho a,b,c>o,abc=1.CMR:[TEX]1/(a^3(b+c)) +1/(b^3(c+a)) +1/(c^3(a+b)) \geq3/2[/TEX]
bài 3:tìm giá tri nhỏ nhất của biểu thức: với a,b,c là các số thực.
[TEX]T=a^2/(a^2+(b+c)^2) +b^2/(b^2+(a+c)^2) +c^2/(c^2 +(b+a)^2)[/TEX]

 

[madocthan]

theo mình ngoài nhớ các bất đẳng thức côsi hay bunhia các bạn cần nhớ thêm bất đẳng thức:[TEX]a^2/x+b^2/y +c^2/z \geq(a+b+c)^2/(x+y+z)[/TEX]
mà bất đẳng thức này đươc chứng minh rất đơn bẳng bunhia hoăc: [TEX](a-b)^2\geq0[/TEX]
sau đây là 3 bài tập để các bạn làm quen bất đẳng thức trên
bài 1:cho a,b,c>0 CMR:[TEX]a/(b+c) + b/(c+a) +c/(a+b) \geq3/2[/TEX]

Bài này có thể dùng bunhia hay cô si đều được vì thực chất Bu nhia là hệ quả của Cô si.



bài 1:cho a,b,c>0 CMR:[TEX]a/(b+c) + b/(c+a) +c/(a+b) \geq3/2[/TEX]

\Leftrightarrow

\Leftrightarrow

Sau đó áp dụng BDT Cô - si cơ bản \Rightarrow đpcm
Bài 2 Áp dụng BĐT Bu nhia.