[Toán 10] Kinh nghiệm chứng minh một BDT với n số????

B

boidore

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Trong các bài tập bất đẳng thức, chắc hẳn các bạn đã gắp dạng bài chứng minh bất đẳng thức với n số thì... Mình ví dụ một bài toán và mong anh em giúp đỡ dùm:
Chứng minh rằng với n là số nguyên dương bất kỳ thì:
[TEX]A =\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} +...+ \frac{1}{n^2} < 1,65[/TEX]
Với bài toán này thì có cách giải như sau:
Nếu k là số nguyên dương thì
[TEX]\frac{1}{k^2} = \frac{4}{4k^2} < \frac{4}{4k^2 - 1} = \frac{4}{(2k-1)(2k+1)} = 2(\frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1})[/TEX]
nên [TEX]\frac{1}{k^2} < 2(\frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1}) [/TEX]
Cho k lần lượt nhận các giá trị 3,4,..., n, rồi cộng các về tương ứng của các bất đẳng thức lại thì được
[TEX]A =\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} +...+ \frac{1}{n^2} < \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + 2(\frac{1}{5} - \frac{1}{7}) +2(\frac{1}{7}-\frac{1}{9}) +...+ 2(\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1}) [/TEX]
Hay [TEX]A < \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{2}{5} - \frac{2}{2n +1} < \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{2}{5} = 1,65[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
Cách giải là như vậy nhưng, để có thể nghĩ đến được [TEX]\frac{1}{k^2} < 2(\frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1}) [/TEX] Thì mệt thật đấyb-(b-(
Các bạn xem rồi giúp cho mình, ai đã từng làm bài này rồi thì chia sẽ kinh nghiệm làm sao để phân tích được như vậy?????
Và bài này còn cách giải nào khác không???? Dù chỉ khác một chút ^^
Với dạng này thì suy nghĩ làm sao để phân tích đây???
Các bạn trả lời từ từ nhé!!!!
 
B

bagiap

những bài như kia ko hẳn là ko nghĩ ra đc cái BDT kia là bó tay hoàn toàn, vẫn có thể nghĩ ra đc BDT khác với lối suy nghĩ khá tự nhiên
tA sẽ xét số hạng tổng quát và đánh giá nó với số hạng " gần với nó nhất "

VD :
Ở bài kia, số hạng tổng quát là 1/ k^2 thì ta đánh giá nó với 1/ ( k^2 -1 ) ....( tự ngẫm tiếp nhé )
và sau đó ta ra đc 1 BDT :
1/K^2 < 1/2* [1/(k-1) - 1/(k+1) ]
vẫn ra đc !
đó chỉ là 1 số kinh nghiệm bản thân, ai có kinh nghiệm gì khác thì share nhé !
P/S: Những bài này lên 11 dùng quy nạp là xong hết !
 
B

boidore

Mình đã thử áp dụng quy tắc quy nạp, nhưng nó chỉ chứng minh được [TEX]A =\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} +...+ \frac{1}{n^2} < 1,65 [/TEX], chứ không đào đâu ra được con 1,65. Vậy có thể coi là đúng được không??
 
B

bagiap

nếu dùng
1/K^2 < 1/2* [1/(k-1) - 1/(k+1) ]
thì ra đc A< 1,5<1,65
hình như bài kia quy nạp ko ra đc thì phải !
 
B

boidore

Mình nghĩ thể đuợc vỉ A < 1,5 thì chắc chắc A<1,65 chứ!! Sao lại không thề, có ai có thể giúp cách làm sâu xa hơn không??
 
H

havy_204

bagiap said:
những bài như kia ko hẳn là ko nghĩ ra đc cái BDT kia là bó tay hoàn toàn, vẫn có thể nghĩ ra đc BDT khác với lối suy nghĩ khá tự nhiên
tA sẽ xét số hạng tổng quát và đánh giá nó với số hạng " gần với nó nhất "

VD :
Ở bài kia, số hạng tổng quát là 1/ k^2 thì ta đánh giá nó với 1/ ( k^2 -1 ) ....( tự ngẫm tiếp nhé )
và sau đó ta ra đc 1 BDT :

1/K^2 < 1/2* [1/(k-1) - 1/(k+1) ]

vẫn ra đc !
đó chỉ là 1 số kinh nghiệm bản thân, ai có kinh nghiệm gì khác thì share nhé !
P/S: Những bài này lên 11 dùng quy nạp là xong hết !
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

chữ màu tím bạn lam sai rùi ...
phải là 1/k^2 <1/2*{1/((k-1)- 1/k } mới đúng
bài toán này sẽ chứng minh đc <2 bạn à:D
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom