[toán 10]IMo-2005

[sieuthamtu_sieudaochit]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho [TEX]x,y,z[/TEX] là các số dương thoả [TEX]xyz \ge 1[/TEX]. Chứng minh rằng
[TEX]\frac{ x^5-x^2}{x^5+y^2+z^2}+\frac{ y^5-y^2}{y^5+z^2+x^2}+\frac{ z^5-z^2}{z^5+x^2+y^2} \ge 0[/TEX]

P/s. Anh em 3t không giải bài này nhé

 

[gianggay]

Bài này có 1 bạn nước ngoài giải khá đỘc đáo ,mình repost lại thôi nha :
đầu tiên áp đụng BCS :
(x5 + y2 + z2)(yz + y2 + z2) >= (x2 + y2 + z2)2 (Sử dụng xyz=1)
(y5 + z2 + x2)(zx + z2 + x2) >= (x2 + y2 + z2)2
(z5 + x2 + y2)(xy + x2 + y2) >= (x2 + y2 + z2)2
xichma[ 1/(x5+y2+z2) ]< = xichma[ (yz+ y2+ z2)/( x2+y2+z2)2]
Ta lại có xichma[ (yz+ y2+ z2)/( x2+y2+z2)2] <= 3(x2+y2+z2) / (x2+y2+z2)2 = 3/(x2+y2+z2)
suy ra xichma[(x2+y2+z2)/(x5+y2+z2)] <=3
Lấy 3 trừ đi cả 2 vế :
[1-(x2+y2+z2)/(x5+y2+z2)] + [1-(x2+y2+z2)/(y5+z2+x2)] + [1-(x2+y2+z2)/(z5+x2+y2)] >=0
<=> đpcm !