Giải hệ sau:
$x^3+3xy^2=140$
$5x^2+2xy+5y^2=10y+26x$
Gọi $ \displaystyle t \in \mathbb{R}$ là số thực sao cho $ \displaystyle y=tx $.
Từ phương trình thứ hai có
$$ 5 x^2 + 2x^2t+5 t^2 x^2 = 26 x + 10tx $$
Tương đương với
$$ x \left( 5x +2xt+5t^2x -26-10t \right) = 0 $$
Nếu $ \displaystyle x=0 $ thì $ \displaystyle y=tx=t0=0 $. Không thỏa
$$ x^3+3xy^2=140 $$
Vậy suy ra
$$ x = \frac{10t+26}{5t^2+2t+5} $$
Từ phương trình đầu có
$$ x^3+3xy^2=x^3 \left( 1+3t^2 \right) =140 $$
Hay là
$$ \left(\frac{10t+26}{5t^2+2t+5} \right)^3 \cdot \left( 1+3t^2 \right) =140 $$
Nhận thấy
$$ \left(\frac{10t+26}{5t^2+2t+5} \right)^3 \cdot \left( 1+3t^2 \right) -140=-\frac{ 4 \left( 5t+1 \right) \left( 7t^2+10t+19 \right) \left( 5t-1 \right)^3}{\left( 5t^2+2t+5 \right)^3} =0$$
Trường hợp $ \displaystyle t=\frac{1}{5}$ thì từ phương trình đầu có
$$ x=\sqrt[3]{\frac{140}{1+3t^2}}=5 $$
Và
$$ y=tx=\frac{x}{5}=1 $$
Trường hợp $ \displaystyle t=-\frac{1}{5}$ thì từ phương trình đầu có
$$ x=\sqrt[3]{\frac{140}{1+3t^2}}=5 $$
Và
$$ y=tx=-\frac{x}{5}=-1 $$
Thử lại thấy thỏa hệ .
Vậy nghiệm của hệ đề bài là
$$ \left(x,y \right)= \left(5,1 \right) \ ; \ \left(5,-1 \right) $$
P/s :
Theo như trên thì dài dòng thật . Nhưng biết được các nghiệm của hệ . Nếu đã biết hệ có nghiệm $ \displaystyle x=5 $ thì đặt
$$ x=a+5 $$
Lúc đó phương trình
$$ x^3+3xy^2=140$$
trở thành
$$ a^3+15a^2+75a+3ay^2+15y^2=15 \quad{(1.1)} $$
Và phương trình
$$5x^2+2xy+5y^2=10y+26x $$
trở thành
$$ 15a^2+6ay+15y^2=15 \quad{(2.1)} $$
Từ $ \displaystyle (2.1) $ có
$$ 15a^2+15y^2=15-6ay $$
Thế vào $ \displaystyle (1.1) $ được
$$ a^3+75a+3ay^2-6ay=0 $$
Hay là
$$ a \left( a^2+3y^2-6y+75 \right) =0 $$
Vì
$$ a^2+3y^2-6y+75 = a^2 + 3 \left( y-1\right)^2+72 > 0 $$
Nên suy ra
$$ a=0 $$
Từ đó có
$$ x=a+5=5 $$
Và
$$ y^2=1 $$
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn