[Toán 10]Hệ quả 2 của CS

[duynhan1]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

CM:
[TEX]\sqrt{a1^2+b1^2} + \sqrt{a2+b2^2 }+ ..........+ \sqrt{an^2+bn^2}\geq \sqrt{(a1+a2+...+an)^2+(b1+b2+.....+bn)^2}[/TEX]

 

[vodichhocmai]

CM:
[TEX]\sqrt{a1^2+b1^2)} + \sqrt{a2+b2^2) }+ ..........+ \sqrt{an^2+bn^2)}\geq \sqrt{(a1+a2+...+an)^2+(b1+b2+.....+bn)^2}[/TEX]

Bất đẳng thức [TEX]MincopSky[/TEX] có thể gảii bằng [TEX]Vector[/TEX] dễ dàng

 

[duynhan1]

CM:
[TEX]\sqrt{a1^2+b1^2} + \sqrt{a2+b2^2 }+ ..........+ \sqrt{an^2+bn^2}\geq \sqrt{(a1+a2+...+an)^2+(b1+b2+.....+bn)^2}[/TEX]

Bài tập áp dụng :
[TEX]a,b,c > 0; a+b+c\leq\frac{3}{2}[/TEX]
Tìm min [TEX]S=\sqrt{a^2 +\frac{1}{b^2}} + \sqrt{b^2 +\frac{1}{c^2}} + \sqrt{c^2 +\frac{1}{a^2}}[/TEX]

 

[bigbang195]

CM:
[TEX]\sqrt{a1^2+b1^2} + \sqrt{a2+b2^2 }+ ..........+ \sqrt{an^2+bn^2}\geq \sqrt{(a1+a2+...+an)^2+(b1+b2+.....+bn)^2}[/TEX]

Chứng minh:

Ta có:

[TEX]VT^2 = x_1^2+y_1^2 + x_1^2+y_1^2 +...+ x_n^2+y_n^2 + 2\sqrt{(x_1^2+y_1^2)(x_2^2+y_2^2)} + 2\sqrt{(x_1^2+y_1^2)(x_3^2+y_3^2)} + ...+2\sqrt{(x_{n-1}^2+y_{n-1}^2)(x_n^2+y_n^2)}[/TEX]

Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz thì:

[TEX]VT^2 \geq x_1^2+y_1^2 + x_1^2+y_1^2 +...+ x_n^2+y_n^2 + 2(x_1x_2+y_1y_2) + 2(x_1x_3+y_1y_3)+....+2(x_{n-1}x_n+y_{n-1}y_n)[/TEX]

[TEX]= (x_1+x_2+...+x_n)^2 + (y_1+y_2+...+y_n)^2[/TEX]

Vậy ta có đpcm

 

[bigbang195]

Bài tập áp dụng :
[TEX]a,b,c > 0; a+b+c\leq\frac{3}{2}[/TEX]
Tìm min [TEX]S=\sqrt{a^2 +\frac{1}{b^2}} + \sqrt{b^2 +\frac{1}{c^2}} + \sqrt{c^2 +\frac{1}{a^2}}[/TEX]

[TEX]Vt \ge \sqrt{(\sum a)^2+(\sum \frac{1}{a})^2} \ge \sqrt{(\sum a)^2 +\frac{81}{(\sum a)^2}[/TEX]


[TEX](\sum a)^2+\frac{81}{(\sum a)^2}[/TEX]

nghịch biến trong [TEX](0,\frac{3}{2}][/TEX]

tức min khi
[TEX]\left{a+b+c=\frac{3}{2}\\ a=b=c=\frac{1}{2}[/TEX]

 

[piterpan]

Chứng minh:

Ta có:

[TEX]VT^2 = x_1^2+y_1^2 + x_1^2+y_1^2 +...+ x_n^2+y_n^2 + 2\sqrt{(x_1^2+y_1^2)(x_2^2+y_2^2)} + 2\sqrt{(x_1^2+y_1^2)(x_3^2+y_3^2)} + ...+2\sqrt{(x_{n-1}^2+y_{n-1}^2)(x_n^2+y_n^2)}[/TEX]

Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz thì:

[TEX]VT^2 \geq x_1^2+y_1^2 + x_1^2+y_1^2 +...+ x_n^2+y_n^2 + 2(x_1x_2+y_1y_2) + 2(x_1x_3+y_1y_3)+....+2(x_{n-1}x_n+y_{n-1}y_n)[/TEX]

[TEX]= (x_1+x_2+...+x_n)^2 + (y_1+y_2+...+y_n)^2[/TEX]

Vậy ta có đpcm

ko hiểu:khi (122):
cậu xem lại xem có viết sai chổ nào thì sửa cho bà con hiểu nha:khi (68)::khi (174):

 

[quyenuy0241]

Bài tập áp dụng :
[TEX]a,b,c > 0; a+b+c\leq\frac{3}{2}[/TEX]
Tìm min [TEX]S=\sqrt{a^2 +\frac{1}{b^2}} + \sqrt{b^2 +\frac{1}{c^2}} + \sqrt{c^2 +\frac{1}{a^2}}[/TEX]

Ngoài cách Áp Dụng hệ Min thì có thể dùng BCS để phá căn:
[tex](a^2+\frac{1}{b^2})(\frac{1}{4}+4) \ge (\frac{a}{2}+\frac{2}{b})^2[/tex]
[tex](a^2+\frac{1}{b^2}) \ge \frac{4}{17}(\frac{a}{2}+\frac{2}{b})^2[/tex]
Cái còn lại tương tự như lời giả của bigbang195

 

[rua_it]

Bài toán tổng quát:
với [tex]x_1,x_2,...,x_n[/tex] là các số thực dương thỏa [tex] \sum_{i=1}^n x_i \leq \frac{n}{2}[/tex] Tìm min [tex]\sum \sqrt{x_1^2+\frac{1}{x_2^2}[/tex]

[tex]Cauchy-Schwarz & Minkowsky \rightarrow \sum \sqrt{x_1^2+\frac{1}{x_2^2}}\geq \sqrt{(\sum x_1)^2+[\frac{n^2}{\sum x}]^2[/tex]

[tex]Xet: f(\sum x)=(\sum x)^2+[\frac{n^2}{\sum x}]^2[/tex]

Dễ thấy hàm số nghịch biến trên đoạn [tex] (0;\frac{n}{2}][/tex]

[tex]\rightarrow[/tex] trên đoạn [tex] (0;\frac{n}{2}] [/tex] hàm số cóa giá trị min tại [tex]\sum x=\frac{n}{2}[/tex]

[tex]\rightarrow min \sum \sqrt{x_1^2+\frac{1}{x_2^2}} =\frac{\sqrt{17}}{2}.n[/tex]