[Toán 10] Hệ phương trình

[hn3]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Giải hệ phương trình :

[TEX]\Large{\left{\begin{\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{2xy}= 8\sqrt{2}} \\{\sqrt{x}+\sqrt{y}=4}[/TEX]

Đây là 1 bài trong đề tuyển Mod box Toán tuần trước , mình post bài này lên bởi bài khá hay và nhiều hướng giải quyết , các bạn trình bày bài giải theo ý kiến của các bạn nhé , mình sẽ Thank ):-h

 

[hung_ils]

Cách 1)DK x,y>0
[TEX]x,y> 0\\\\ \left\{\begin{matrix}\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{2xy}=8\sqrt{2} & \\ \sqrt{x}+\sqrt{y}=4 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\sqrt{2(x^2+y^2)}+2\sqrt{xy}=16 & \\ x+y+2\sqrt{xy}=16 & \end{matrix}\right.\\\\ \Rightarrow \sqrt{2(x^2+y^2)}=x+y\Rightarrow (x+y)^2=2(x^2+y^2)[/TEX]
Theo B.u, lại có [TEX]2(x^2+y^2)\geq (x+y)^2\forall x;y [/TEX]
\RightarrowDấu= xảy ra\Rightarrowx=y
Thay x=y vào pt 2\Rightarrow[TEX]2\sqrt{x}=4\Rightarrow x=4\Rightarrow x=y=4[/TEX](TMDK)
Vậy x=y=4

 

[hoi_a5_1995]

Giải hệ phương trình :

[TEX]\Large{\left{\begin{\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{2xy}= 8\sqrt{2}} \\{\sqrt{x}+\sqrt{y}=4}[/TEX]

Đây là 1 bài trong đề tuyển Mod box Toán tuần trước , mình post bài này lên bởi bài khá hay và nhiều hướng giải quyết , các bạn trình bày bài giải theo ý kiến của các bạn nhé , mình sẽ Thank ):-h

Cách 2 :
đk x,y\geq 0

[TEX]\left\{ \begin{array}{l} x^2 +y^2 = (8\sqrt{2} - \sqrt{2xy})^2 (1)\\ x +y + 2\sqrt{xy}=16(2) \end{array} \right[/TEX]

Thế (2) vào (1) ta đc
[TEX] (16 + 2\sqrt{xy} )^2 = 128 - 32\sqrt{xy} + 4xy[/TEX]
[TEX]<=> \sqrt{xy} = 4[/TEX]
đặt [TEX]\sqrt{xy} = P[/TEX]
[TEX]\sqrt{x} + \sqrt{y} = S[/TEX]
=> [TEX]X^2 - SX + P = 0[/TEX]
=> x = y = 2

Đáp số chưa đúng , biến đổi nhầm đoạn nào rồi :-/

 

[hn3]

Cách 3 : Mình làm cách này và mình đã đậu )

Điều kiện : [TEX]x,y \geq 0[/TEX] (Hôm đó làm thiếu điều kiện này :-??)

Ta có :

[TEX]x^2+y^2 \geq \frac{(x+y)^2}{2}[/TEX]

[TEX]<=>\sqrt{x^2+y^2} \geq \frac{x+y}{\sqrt{2}}[/TEX]

[TEX]==> 8\sqrt{2}=\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{2xy} \geq \frac{x+y}{\sqrt{2}}+\sqrt{2xy}[/TEX]

[TEX]=\frac{x+y+2\sqrt{xy}}{\sqrt{2}}=\frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2}{\sqrt{2}}=8\sqrt{2}[/TEX]

==> [TEX]x=y[/TEX] . Thế lên phương trình 2 của hệ , ta có [TEX]x=y=4[/TEX] :khi (89):