[Toán 10]giúp em với !

[quangtruong94]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

CM ab(x - a)(x - b) + bc(x - b)(x - c) + ac(x - a)(x - c) = 0 luôn có nghiệm với mọi a , b, c

 

[rua_it]

CM ab(x - a)(x - b) + bc(x - b)(x - c) + ac(x - a)(x - c) = 0 luôn có nghiệm với mọi a , b, c

[tex]Dat:f(x) = ab.(x-a)(x-b) + bc.(x-b)(x-c) + ca.(x-c)(x-a) = 0[/tex]

Dễ thấy rằng f(x) liên tục trên tập R và nếu 2 trong 3 số a, b, c bằng nhau thì f(x) = 0 ,\forall x

Xét a, b, c khác nhau đôi một.

f(a) = bc(a-b)(a-c)

f(b) = ca(b-c)(b-a)

f(c) = ab(c-a)(c-b)

Giả sử [tex] a, b, c \not =\ 0[/tex](Vì nếu a, b hay c = 0 thì f(x) hiển nhiên có nghiệm.

[tex]Xet:f(a).f(b) = -c^2.ab(a-b)^2.(a-c).(b-c)[/tex]

Đánh giá:

[tex]Xet: f(c) \in\ (0;+\infty) \Rightarrow ̀f(a).f(b) < 0[/tex]

[tex]Xet: f(c) \in\ (0;-\infty)[/tex]

Note:Nếu tổng 2 số bất kỳ lớn hơn không thì \exists ít nhất một số hạng lớn hơn không.

[tex]\Rightarrow f(a) + f(b) = bc(a-b)(a-c) + ca(b-c)(b-a)= c.(a-b).(ac - bc) = c^2(a-b)^2 > 0[/tex]

\Rightarrow \exists 1 trong 2 giá trị f(a), f(b) phải dương. Giả sử đó là f(a).

\Rightarrow f(a).f(c) < 0

Vậy với mọi a,b,c bất kỳ kỳ thì pt trên luôn cóa nghiệm.

 

[quangtruong94]

Tiện các bác cho em hỏi thêm con này đỡ phải lập topicc mới :

Cm : sin^2A+sin^2B+sin^2C =< 9/4

 

[rua_it]

Tiện các bác cho em hỏi thêm con này đỡ phải lập topicc mới :

Cm : sin^2A+sin^2B+sin^2C =< 9/4

[tex] sin^2A +sin^2B+sin^2C \leq \frac{9}{4}[/tex]

[tex]\Rightarrow 1-cos^2A+\frac{1-cos2B}{2}+\frac{1-cos2C}{2} \leq \frac{9}{4}[/tex]

[tex]\Rightarrow cos^2A+\frac{cos2B+cos2C}{2}+\frac{1}{4} \geq 0[/tex]

[tex]\Rightarrow cos^2A-cosAcos(B-C)+\frac{1}{4} \geq 0[/tex]

[tex]\Rightarrow (cosA-\frac{1}{2}.cos(B-C))^2+\frac{1}{4}sin^2(B-C) \geq 0[/tex]

Bất đẳng thức cuối luôn đúng và ta có đpcm.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ABC là tam giác đều.