[toán 10]giup e voi

Z

z0zlongbongz0z

giup e bai nay voi
a,b,c\geq0 va abc=1 CM
a/(a^2+2)+b/(b^2+2)+c/(c^2+2)\leq1
Ta có:
[TEX]\frac{a}{a^{2}+2}=\frac{1}{a+\frac{2}{a}}=\frac{1}{a+2bc}\leq\frac{1}{2\sqrt{abc}+bc}=\frac{1}{2+bc} [/TEX]
[TEX]\Rightarrow\frac{a}{a^{2}+2}\leq\frac{1}{2+bc}[/TEX]
Tương tự ta được
[TEX]\frac{a}{a^{2}+2}+\frac{b}{b^{2}+2}+\frac{c}{c^{2}+2}\leq\frac{1}{2+bc}+\frac{1}{2+ac}+\frac{1}{2+ba}[/TEX](1)
Đặt ab=x, bc=y, ca=z, [TEX]\Rightarrow xyz=a^{2}b^{2}c^{2}=1\Rightarrow xy+yz+zx\geq\sqrt[3]{x^{2}y^{2}z^{2}}=3[/TEX]
[TEX]\frac{1}{2+bc}+\frac{1}{2+ac}+\frac{1}{2+ba}=\frac{1}{2+y}+\frac{1}{2+z}+\frac{1}{2+x}[/TEX]
Lại có:
[TEX]\frac{1}{2+y}+\frac{1}{2+z}+\frac{1}{2+x}=\frac{12+4(x+y+z)+(xy+yz+zx)}{8+4(x+y+z)+2(xy+z+xz)+xyz}[/TEX]
Mặt khác:
[TEX]8+4(x+y+z)+2(xy+z+xz)+xyz=9+4(x+y+z)+(xy+yz+zx)+(xy+yz+zx)\geq12+4(x+y+z)+(xy+yz+xz)[/TEX]
Nên[TEX]\frac{12+4(x+y+z)+(xy+yz+zx)}{8+4(x+y+z)+2(xy+z+xz)+xyz}\leq1[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow\frac{1}{2+bc}+\frac{1}{2+ac}+\frac{1}{2+ba}\leq1[/TEX](2)
Kết hợp (1) và (2) suy ra
[TEX]\frac{a}{a^{2}+2}+\frac{b}{b^{2}+2}+\frac{c}{c^{2}+2}\leq1[/TEX](đpcm)
 
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