Cho 0<a<b<1.
CMR [TEX]a^b[/TEX] +[TEX]b^a[/TEX] >1
Giúp dùm em cái nhá
Tổng quát với a,b thuộc R+ luôn.
Bài này thì dùng Bernoulli quen thuộc rồi, lần này ta sẽ dùng AM-GM (cô si):
Nếu 1 trong 2 số a,b >=1 thì BDT chắc chắn đúng.
Trong trường hợp 0<a<b<=1 thì.
Chắc chắn tồn tại [TEX]k, s \in Z^+[/TEX] để: [TEX]a \in \[\frac{1}{k+1}; \frac{1}{k}\]; b \in \[\frac{1}{s+1}; \frac{1}{s}\][/TEX]
Khi đó, [TEX]a^b +b^a \ge \(\frac{1}{k+1}\)^{\frac{1}{s}}+ \(\frac{1}{s+1}\)^{\frac{1}{k}} = \frac{1}{\sqrt[s]{k+1}}+ \frac{1}{\sqrt[k]{s+1}}[/TEX]
Áp dụng AM-GM: [TEX]\sqrt[s]{k+1} = \sqrt[s]{(k+1).1.1.1...1} \le \frac{(k+1)+1+1+1+...+1}{s} = \frac{k+1+s-1}{s} = \frac{k+s}{s}[/TEX]
Tương tự, [TEX]\sqrt[k]{s+1} \le \frac{k+s}{k}[/TEX]
Từ đó: [TEX]a^b+b^a \ge \frac{1}{\sqrt[s]{k+1}}+ \frac{1}{\sqrt[k]{s+1}} \ge \frac{s}{k+s} + \frac{k}{k+s} = 1[/TEX]
Nhưng dấu = ko xảy ra nên ta có đpcm
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn