[Toán 10] Giải pt: $\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}=x^2-6x+11$

[nghgh97]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Giải pt:
\[\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}=x^2-6x+11\]
......................................................

 

[pe_lun_hp]

$\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}=x^2-6x+11$

$VT = A$

$VP = B$

Ta có:

$A^2 = 2 + 2\sqrt{(x-2)(4-x)} ≤ 2 + (x-2) + (4-x) = 4$

$\rightarrow A ≤ 2$

$B = (x - 3)^2 + 2 ≥ 2$

Theo đề bài A=B nên A=B=2


$\rightarrow \left\{\begin{matrix}x-2 = 4 -x\\x = 3 \end{matrix}\right.$

Vậy x=3 ( thay vào pt -> thỏa mãn)

 

[tranvanhung7997]

Giải pt:
\[\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}=x^2-6x+11\]

\[\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}=x^2-6x+11\]
Điều kiện: 2\leqx\leq4
PT \Leftrightarrow \[\frac{x-3}{\sqrt[]{x-2}+1} - \frac{x-3}{\sqrt[]{4-x}+1}=(x-3)^2\]
\Leftrightarrow Hoặc x=3 (T/m)
Hoặc \[ \frac{1}{\sqrt[]{x-2}+1} - \frac{1}{\sqrt[]{4-x}+1} = x-3\]
xét x=3 là nghiệm của PT
xét x>3 \Rightarrow \[ \frac{1}{\sqrt[]{x-2}+1} - \frac{1}{ \sqrt[]{4-x}+1} < \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0 < x-3\]\Rightarrow PTVN
xét 2\leqx<3 \Rightarrow \[\frac{1}{ \sqrt[]{x-2}+1} - \frac{1}{\sqrt[]{4-x}+1} > \frac{1}{2} - \frac{1}{2}=0 > x-3\]\Rightarrow PTVN
Vậy PT đã cho có nghiệm duy nhất là: x = 3

 

[noinhobinhyen]

\[\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}=x^2-6x+11\]
Điều kiện: 2\leqx\leq4
PT \Leftrightarrow \[\frac{x-3}{\sqrt[]{x-2}+1} - \frac{x-3}{\sqrt[]{4-x}+1}=(x-3)^2\]
\Leftrightarrow Hoặc x=3 (T/m)
Hoặc \[ \frac{1}{\sqrt[]{x-2}+1} - \frac{1}{\sqrt[]{4-x}+1} = x-3\]
xét x=3 là nghiệm của PT
xét x>3 \Rightarrow \[ \frac{1}{\sqrt[]{x-2}+1} - \frac{1}{ \sqrt[]{4-x}+1} < \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0 < x-3\]\Rightarrow PTVN
xét 2\leqx<3 \Rightarrow \[\frac{1}{ \sqrt[]{x-2}+1} - \frac{1}{\sqrt[]{4-x}+1} > \frac{1}{2} - \frac{1}{2}=0 > x-3\]\Rightarrow PTVN
Vậy PT đã cho có nghiệm duy nhất là: x = 3

ta có $\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x} \leq \sqrt{2(x-2+4-x)}=2$

$x^2-6x+11 = (x-3)^2+2 \geq 2$

từ đó suy ra pt có nghiệm duy nhất x=3