[Toán 10] Giải PT: $\sqrt[3]{{2x - 1}} - \sqrt[3]{{x - 1}} = \sqrt[3]{{3x - 2}}$

[hung.nguyengia2013@gmail.com]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Giải phương trình:
\[\sqrt[3]{{2x - 1}} - \sqrt[3]{{x - 1}} = \sqrt[3]{{3x - 2}}\]

 

[eye_smile]

Đặt $\sqrt[3]{2x-1}=a$
$\sqrt[3]{x-1}­=b$
PT \Leftrightarrow $a-b=\sqrt[3]{{a^3}+{b^3}}$
Lập phương 2 vế+biến đổi:
$3ab(b-a)=2{b^3}$ (*)
+/b=0\Rightarrow x=1(tm)
+/b#0
\Rightarrow (*) \Leftrightarrow ${(a-\dfrac{1}{2})^2}+\dfrac{5}{12}{b^2}­=0$
\Leftrightarrow $a=\dfrac{1}{2}$, $b=0$ (ktm b#0 nha)
Vậy x=1

 

[hung.nguyengia2013@gmail.com]

Đặt $\sqrt[3]{2x-1}=a$
$\sqrt[3]{x-1}­=b$
PT \Leftrightarrow $a-b=\sqrt[3]{{a^3}+{b^3}}$
Lập phương 2 vế+biến đổi:
$3ab(b-a)=2{b^3}$ (*)
+/b=0\Rightarrow x=1(tm)
+/b#0
\Rightarrow (*) \Leftrightarrow ${(a-\dfrac{1}{2})^2}+\dfrac{5}{12}{b^2}­=0$
\Leftrightarrow $a=\dfrac{1}{2}$, $b=0$ (ktm b#0 nha)
Vậy x=1

Bạn biến đổi làm sao để được kết quả như thế? Bạn có thể làm chi tiết hơn giúp mình được không. Mình cũng đặt ẩn phụ như bạn nhưng làm tới đây thì phải dừng lại: \[u - v = \sqrt[3]{{{u^3} + {v^3}}} \Leftrightarrow 2{v^3} - 3{v^2}u + 3v{u^2} = 0 \Leftrightarrow v(2{v^2} - 3vu + 3{u^2}) = 0\]
Biểu thức trong dấu ngoặc tròn mình không chứng minh được là luôn > 0 hoặc luôn < 0 nên mình không thể kết luận được phương trình có nghiệm duy nhất $x = 1$ như bạn

 

[vuive_yeudoi]

Bạn biến đổi làm sao để được kết quả như thế? Bạn có thể làm chi tiết hơn giúp mình được không. Mình cũng đặt ẩn phụ như bạn nhưng làm tới đây thì phải dừng lại: \[u - v = \sqrt[3]{{{u^3} + {v^3}}} \Leftrightarrow 2{v^3} - 3{v^2}u + 3v{u^2} = 0 \Leftrightarrow v(2{v^2} - 3vu + 3{u^2}) = 0\]
Biểu thức trong dấu ngoặc tròn mình không chứng minh được là luôn > 0 hoặc luôn < 0 nên mình không thể kết luận được phương trình có nghiệm duy nhất $x = 1$ như bạn

Đầu tiên với $u=\sqrt[3]{2x-1} \ ; \ v=\sqrt[3]{x-1}$ thỏa phương trình :
$$ u-v=\sqrt[3]{u^3+v^3} $$
thì $u^2 > 0$ .

Tại vì nếu $u^2=0$ thì suy ra : $x=\frac{1}{2}$ ; suy ra : $v=\sqrt[3]{x-1}=\sqrt[3]{-\frac{1}{2}}$ . Mà :
$$ u-v \neq \sqrt[3]{u^3+v^3} $$
Rồi thì :
$$ 2v^2-3vu+3u^2=2(v-\frac{3u}{4})^2+\frac{15u^2}{8} > 0 $$