[Toán 10] Giải hệ phương trình

[lp_qt]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

a/ $\left\{\begin{matrix}x+\dfrac{2xy}{\sqrt[3]{x^{2}-2x+9}}=x^{2}+y & \\ y+\dfrac{2xy}{\sqrt[3]{y^{2}-2y+9}}=y^{2}+x & \end{matrix}\right.$

b/ $\left\{\begin{matrix}\sqrt{2x+1} +2.\sqrt{y+2x}=x+y+2& \\ \sqrt{2xy-y-2x+1}+1=x+\frac{y}{2} & \end{matrix}\right.$

 

[hien_vuthithanh]

a/ $\left\{\begin{matrix}x+\dfrac{2xy}{\sqrt[3]{x^{2}-2x+9}}=x^{2}+y & \\ y+\dfrac{2xy}{\sqrt[3]{y^{2}-2y+9}}=y^{2}+x & \end{matrix}\right.$

Đk \forall x ,y

Cộng 2 vế của hệ \Rightarrow $\dfrac{2xy}{\sqrt[3]{x^{2}-2x+9}}+\dfrac{2xy}{\sqrt[3]{y^{2}-2y+9}}$ =$x^2+y^2$ (*)

Ta có $\sqrt[3]{x^{2}-2x+9}$=$\sqrt[3]{(x-1)^2+8}$ \geq 2
\Rightarrow $\dfrac{2xy}{\sqrt[3]{x^{2}-2x+9}}$ \leq $xy$
TT \Rightarrow $\dfrac{2xy}{\sqrt[3]{y^{2}-2y+9}}$ \leq $xy$
(*) \Rightarrow $x^2+y^2$ \leq $2xy$ \Leftrightarrow $(x-y)^2 $\leq 0
\Rightarrow $x=y$ \Rightarrow ....

 

[hien_vuthithanh]

b/ $\left\{\begin{matrix}\sqrt{2x+1} +2.\sqrt{y+2x}=x+y+2& \\ \sqrt{2xy-y-2x+1}+1=x+\frac{y}{2} & \end{matrix}\right.$

DK x \geq $\dfrac{-1}{2}$ ,y \geq -2x
Xét pt2 có $\sqrt{2xy-y-2x+1}$=$\sqrt{(2x-1)(y-1)}$
Đặt $\sqrt{2x-1}=a$ ,$\sqrt{y-1}=b$ (a,b \geq 0)
\Rightarrow pt2 \Leftrightarrow $ab+1=\dfrac{a^2+1}{2}+\dfrac{b^2+1}{2}$
\Leftrightarrow $(a-b)^2=0$
\Leftrightarrow a=b
\Rightarrow thay vào pt1 giải tiếp

 

[lp_qt]

Đk \forall x ,y

Cộng 2 vế của hệ \Rightarrow $\dfrac{2xy}{\sqrt[3]{x^{2}-2x+9}}+\dfrac{2xy}{\sqrt[3]{y^{2}-2y+9}}$ =$x^2+y^2$ (*)

Ta có $\sqrt[3]{x^{2}-2x+9}$=$\sqrt[3]{(x-1)^2+8}$ \geq 2
\Rightarrow $\dfrac{2xy}{\sqrt[3]{x^{2}-2x+9}}$ \leq $xy$
TT \Rightarrow $\dfrac{2xy}{\sqrt[3]{y^{2}-2y+9}}$ \leq $xy$
(*) \Rightarrow $x^2+y^2$ \leq $2xy$ \Leftrightarrow $(x-y)^2 $\leq 0
\Rightarrow $x=y$ \Rightarrow ....

chưa thật hợp lí =))
khi chưa biết $xy$ không âm sao lại có chỗ màu đỏ
để hoàn thiện hơn
$\dfrac{2xy}{\sqrt[3]{x^{2}-2x+9}}+\dfrac{2xy}{\sqrt[3]{y^{2}-2y+9}}=x^2+y^2$ (*)
\Leftrightarrow $2xy(\dfrac{1}{\sqrt[3]{x^{2}-2x+9}}+\dfrac{1}{\sqrt[3]{y^{2}-2y+9}}=x^2+y^2$
đánh giá suy ra $xy$ \geq $0$