[Toán 10] $\frac{2x}{\sqrt{x^2+1}}+\frac{y}{\sqrt{y^2+1}}+ \frac{z}{\sqrt{z^2+1}}\le \dfrac{9}{4}$

[meocon_113]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho xy+yz+xz=1
chứng minh rằng:
[TEX]\frac{2x}{\sqrt{x^2+1}}+\frac{y}{\sqrt{y^2+1}}+ \frac{z}{\sqrt{z^2+1}}[/TEX]\leq [TEX]\frac{9}{4}[/TEX]

 

[minhtuyb]

-Từ giả thiết suy ra tồn tại một tam giác $ABC$ sao cho:
$$x=\cot A;y=\cot B;z=\cot C$$

-Đặt biểu thức đã cho là $P$, sau vài bước biến đổi thì ta viết lại $P$ dưới dạng:

$$P=2\cos A+\cos B+\cos C$$

-Đến đây công việc chứng minh $P\le \dfrac{9}{4}$ có nhiều cách, mình xin giới thiệu một BĐT khá "đa di năng" cho các dạng bài tìm $max(k\cos A+l\cos B+m\cos C)$:
$$x^2+y^2+z^2\ge 2yz\cos A+2zx\cos B+2xy\cos C$$.

-Áp dụng BĐT trên với $y=z=1;z=\dfrac{1}{2}$ ta suy ra ngay $P\le \dfrac{9}{4}$
-Tóm lại BĐT đã cho được c/m, dấu bằng xảy ra khi... (khuyến khích bạn tự c/m bđt của mình rồi tìm dấu đẳng thức xảy ra, c/m bằng tam thức bậc hai nhé ^^ $\square$)