H
huynhbachkhoa23
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Với mọi số thực $a,b,c$ luôn có phép đặt $p=a+b+c, q=ab+bc+ca, r=abc$. Với một bất đẳng thức hiển nhiên đúng $[(a-b)(b-c)(c-a)]^2\ge 0$. Ta có được:
$$p^2q^2-4q^3+2p(9q-2p^2)r-27r^2\ge 0$$
Giải bất phương trình này theo $r$ ta được:
$$r\in \left[\dfrac{p(9q-2p^2)-2(p^2-3q)\sqrt{p^2-3q}}{27}, \dfrac{p(9q-2p^2)+2(p^2-3q)\sqrt{p^2-3q}}{27}\right]$$
Bất đẳng thức này rất rất chặc vì nó có đến 3 dấu đẳng thức là $a=b, b=c$ hoặc $c=a$, nhưng rất cồng kềnh. Ta hãy đặt:
$$u_0=\dfrac{p+\sqrt{p^2-3q}}{3}, v_0=\dfrac{p-2\sqrt{p^2-3q}}{3}\\
u_1=\dfrac{p-\sqrt{p^2-3q}}{3}, v_1=\dfrac{p+2\sqrt{p^2-3q}}{3}$$
Khi đó ta có được: $\begin{cases}2u_0+v_0=2u_1+v_1=p\\
2u_0v_0+u_0^2=2u_1v_1+u_1^2=q\\
r\in \left[u_0^2v_0, u_1^2v_1\right] \end{cases}$
Xét bất đẳng thức $f(a,b,c)\ge 0$ không có điều kiện ràng buộc với $r=abc$. Nếu phân tích được $f(a,b,c)=g(p,q,r)=F(r)$ với $F(r)$ là hàm số đơn điệu theo $r$. Khi đó ta có:
$$F(r)\ge \text{min}\{F(u_0^2v_0), F(u_1^2v_1)\}$$
Vậy là ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức $f(a,b,c)\ge 0$ khi có hai biến bằng nhau.
Tương tự nếu $F(r)$ lồi thì $f(a,b,c)$ đạt giá trị lớn nhất khi có hai biến bằng nhau.
Nếu $a,b,c\ge 0$ thì $r\ge 0$, các bạn thử nghĩ xem trường hợp này quy về chứng minh khi nào.
Các bạn có thể lấy các bài BDT mà các bạn đã làm rồi ra để sử dụng phương pháp này. Tuy nhiên không nên sử dụng thường xuyên, các bài toán rất rất chặc mới sử dụng. Nó quá mạnh nên nó sẽ làm các bạn phụ thuộc vào nó nhiều hơn.
Bài toán 1. Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh:
$$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+48(ab+bc+ca)\ge 25$$
Bài toán 2. Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh:
$$8\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} \right)+9\ge 10(a^2+b^2+c^2)$$
Hay bài này rất chặc và có thể giải quyết bằng M.V + D.A.C
$$p^2q^2-4q^3+2p(9q-2p^2)r-27r^2\ge 0$$
Giải bất phương trình này theo $r$ ta được:
$$r\in \left[\dfrac{p(9q-2p^2)-2(p^2-3q)\sqrt{p^2-3q}}{27}, \dfrac{p(9q-2p^2)+2(p^2-3q)\sqrt{p^2-3q}}{27}\right]$$
Bất đẳng thức này rất rất chặc vì nó có đến 3 dấu đẳng thức là $a=b, b=c$ hoặc $c=a$, nhưng rất cồng kềnh. Ta hãy đặt:
$$u_0=\dfrac{p+\sqrt{p^2-3q}}{3}, v_0=\dfrac{p-2\sqrt{p^2-3q}}{3}\\
u_1=\dfrac{p-\sqrt{p^2-3q}}{3}, v_1=\dfrac{p+2\sqrt{p^2-3q}}{3}$$
Khi đó ta có được: $\begin{cases}2u_0+v_0=2u_1+v_1=p\\
2u_0v_0+u_0^2=2u_1v_1+u_1^2=q\\
r\in \left[u_0^2v_0, u_1^2v_1\right] \end{cases}$
Xét bất đẳng thức $f(a,b,c)\ge 0$ không có điều kiện ràng buộc với $r=abc$. Nếu phân tích được $f(a,b,c)=g(p,q,r)=F(r)$ với $F(r)$ là hàm số đơn điệu theo $r$. Khi đó ta có:
$$F(r)\ge \text{min}\{F(u_0^2v_0), F(u_1^2v_1)\}$$
Vậy là ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức $f(a,b,c)\ge 0$ khi có hai biến bằng nhau.
Tương tự nếu $F(r)$ lồi thì $f(a,b,c)$ đạt giá trị lớn nhất khi có hai biến bằng nhau.
Nếu $a,b,c\ge 0$ thì $r\ge 0$, các bạn thử nghĩ xem trường hợp này quy về chứng minh khi nào.
Các bạn có thể lấy các bài BDT mà các bạn đã làm rồi ra để sử dụng phương pháp này. Tuy nhiên không nên sử dụng thường xuyên, các bài toán rất rất chặc mới sử dụng. Nó quá mạnh nên nó sẽ làm các bạn phụ thuộc vào nó nhiều hơn.
Bài toán 1. Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh:
$$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+48(ab+bc+ca)\ge 25$$
Bài toán 2. Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh:
$$8\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} \right)+9\ge 10(a^2+b^2+c^2)$$
Hay bài này rất chặc và có thể giải quyết bằng M.V + D.A.C