[Toán 10] Đề thi HSG Đà Nẵng 09-10

[pntnt]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Đề chính thức:
Thời gian: 150ph không kể thời gian giao đề

B1, 2đ
1, tìm 1 hàm số bậc 2 biết đồ thị của nó có trục đối xứng là đường thẳng x=2 đồng thời tiếp xúc với 2 đường thẳng y=-1 và y=2x-7
2, GIải phương trình [TEX]\sqrt{4-3\sqrt{10-3x}}=x-2[/TEX]

B2, 2đ
1, giải hệ pt: [TEX]\left{ \begin (x+y)^2+3y^2=7 \\ x+2y(x+1)=5 [/TEX]
2, giải và biện luận bpt: [TEX]\frac{x^2-2(m+1)x+m^2+2m}{\sqrt{-x^2+3x-2}}<0[/TEX]

B3, 2,5đ
1, trong mặt phẳng Oxy, cho A(2;0) và đường thẳng [TEX](\Delta):x-y+2=0[/TEX].Tìm trên đường thẳng Delta điểm M sao cho MO+MA ngắn nhất
2, trong mp Oxy, cho 3 điểm A(1;-2), B(5;-3) và C(2;0). TÌm pt đường thẳng (d) qua điểm C và có khoảng cách từ (d) đến B bằng 3 lần khoảng cách từ (d) đến A.

B4, 2,5đ
1, cho các số thực x,y thõa x+y=1. tìm giá trị nhỏ nhất [TEX]E=\sqrt{x^2+y^2+4x-2y+5}[/TEX]
2, cho hệ pt [TEX]\left{ \begin x+y+2m-15=0 \\ \sqrt{9-x}+ \sqrt{9-y}=2m+1 [/TEX]
tìm m để hệ có nghiệm (x;y)

B5, 1đ
cho a,b,c là các số thực dương thõa mãn đk: a+b+c=3. CMr:
[TEX]\frac{a+1}{b^2+1} + \frac{b+1}{c^2+1} +\frac{c+1}{a^2+1} \ge ab+bc+ca [/TEX]
Dấu = xảy ra khi nào ??

 

[balep]

Mới tìm hiểu về cái vô tỉ ( phương trình chứa căn )
Chém bài đó trước
1.b
[TEX]\sqrt{4-3\sqrt{10-3x}}=x-2[/TEX]
ĐK x\geq2
Đặt [TEX]\sqrt{10-3x}=y-2(*)[/TEX]
Ta có [TEX]{x}^{2}-4x+3\sqrt{10-3x}=0[/TEX]
nên [TEX]{x}^2-4x+3+3(y-2)=0[/TEX]
hay [TEX]{x}^2+3y-4x-6=0(1)[/TEX]
Bình phương cái[TEX] (*) [/TEX]ta có :
[TEX]{y}^{2}+3x-4y-6=0(2)[/TEX]
Ta thấy vì (1),(2) là phương trình đối xứng loại II
Nên cần lấy (1)-(2) là ra......

 

[balep]

1a.Mới xem cái hàm số lại.Xử luôn.
Do hàm số bậc 2 là một parabol (P), chỉ có 2 hướng là bề lõm quay xuống, và quay lên.
Ta có (P) tiếp xúc với đường thằng y=-1 ( đường thẳng này chỉ xong xong với Ox và cắt Oy tại điểm là -1 )
Từ đó suy ra chỉ có đỉnh của (P) là tiếp xúc với đường thẳng này.
Theo giả thiết ta có )
[TEX]\frac{-b}{2a}=2(*)[/TEX]
[TEX]\frac{-\Delta}{4a}=-1(1)[/TEX]
Vì (P) tiếp xúc với đường thẳng [TEX]y=2x-7[/TEX]
suy ra pt [TEX]a{x}^{2}+bx+c=2x-7 [/TEX]
có nghiệm kép
ta có [TEX] \Delta = ({b-2})^{2}-4(a)(c+7)[/TEX]
[TEX] ={b}^2-4b+4-4ac-28a=0[/TEX]
Từ (1) ta có [TEX] {b}^{2}-4ac=4a[/TEX]
thay vào delta ta có
[TEX]4a-4b+4-28a=0[/TEX]
suy ra [TEX]-6a-4b+4=0 [/TEX]
hay[TEX] -a+4b-4=0(2)[/TEX]
Từ [TEX](*)[/TEX] và [TEX](2)[/TEX] ta tìm được [TEX]a,b,c.[/TEX].....:-SS

 

[rua_it]

Đề chính thức:
Thời gian: 150ph không kể thời gian giao đề

B5, 1đ
cho a,b,c là các số thực dương thõa mãn đk: a+b+c=3. CMr:
[TEX]\frac{a+1}{b^2+1} + \frac{b+1}{c^2+1} +\frac{c+1}{a^2+1} \ge ab+bc+ca [/TEX]
Dấu = xảy ra khi nào ??

Chú ý phân tích sau:

[tex]\frac{x+1}{y^2+1} =\frac{(x+1)(y^2-y^2+1)}{y^2+1}[/tex]

[tex]=\frac{(x+1)(y^2+1)-y^2.(x+1)}{y^2+1}[/tex]

[tex]=x+1-\frac{y^2.(x+1)}{y^2+1} \geq_{Am-Gm} x+1-\frac{y^2(x+1)}{2y} =x+1-\frac{y.(x+1)}{2}[/tex]

[tex]\Rightarrow LHS:=\sum_{cyclic} \frac{a+1}{b^2+1} \geq a+1-\frac{b^2.(a+1)}{b^2+1}+b+1-\frac{c^2.(b+1)}{c^2+1}+c+1-\frac{c^2.(b+1)}{c^2+1}[/tex]

[tex]\geq a+b+c+3-(\frac{b.(a+1)}{2}+\frac{c.(b+1)}{2}+\frac{a.(c+1)}{2})[/tex]

[tex]=3+a+b+c-\frac{ab+b+bc+c+ca+a}{2} \geq 3[/tex]

[tex]RHS:=ab+bc+ca \leq a^2+b^2+c^2 =(a+b+c)^2-2.(ab+bc+ca)[/tex]

[tex] \Rightarrow (ab+bc+ca) \leq \frac{(a+b+c)^2}{3}=3 \Rightarrow dpcm.[/tex]

Đẳng thức xảy ra [tex]\Leftrightarrow a=b=c=1[/tex]

 

[bigbang195]

B5, 1đ
cho a,b,c là các số thực dương thõa mãn đk: a+b+c=3. CMr:
[TEX]\frac{a+1}{b^2+1} + \frac{b+1}{c^2+1} +\frac{c+1}{a^2+1} \ge ab+bc+ca [/TEX]
Dấu = xảy ra khi nào ??

Theo CauChy-Schwarz ta có:

[TEX]VT \ge \frac{36}{\sum_{cyc} ab^2+\sum_{cyc} a^2+\sum_{cyc} a+3} [/TEX]
vậy chỉ cần chứng minh

[TEX](ab+bc+ac)(\sum_{cyc} ab^2+\sum_{cyc} a^2+6) \le 36[/TEX]

Với AM-GM dễ có

[TEX](a+b+c)(a^2+b^2+c^2) \ge 3\sum_{cyc} ab^2[/TEX]

hay [TEX]\sum_{cyc} a^2 \ge \sum_{cyc} ab^2[/TEX]

sử dụng AM-GM cho
[TEX](4ab+4bc+4ac)(2\sum_{cyc} a^2+6) \le ........[/TEX]

 

[bigbang195]

[TEX]a,b,c[/TEX] là các số dương thoả mãn

[TEX]\sqrt{a^2+b^2+c^2}=\sqrt[3]{ab+bc+ac}[/TEX]

CMR : [TEX]a+b+c \le \sqrt{3}[/TEX]

:"> .

 

[quyenuy0241]

Đề chính thức:
Thời gian: 150ph không kể thời gian giao đề
1, giải hệ pt: [TEX]\left{ \begin (x+y)^2+3y^2=7 \\ x+2y(x+1)=5 [/TEX]

[tex] \Leftrightarrow \left{\begin{x^2+2xy+4y^2=7 \\ {x+2y+2xy =5 [/tex]

[tex]\Leftrightarrow \left{\begin{(x+2y)^2-2xy=7 \\ (x+2y)+2xy =5 [/tex]

[tex]Dat...\left{\begin{x+2y=a\\ 2xy=b [/tex]

[tex]HPT \Leftrightarrow \left{\begin{a^2-b=7 \\ a+b=5 [/tex]

 

[quyenuy0241]

[TEX]a,b,c[/TEX] là cương thoả mãn

[TEX]\sqrt{a^2+b^2+c^2}=\sqrt[3]{ab+bc+ac}[/TEX]

CMR : [TEX]a+b+c \le \sqrt{3}[/TEX]

:"> .

[TEX]\sqrt{a^2+b^2+c^2}=\sqrt[3]{ab+bc+ac} \Leftrightarrow (a^2+b^2+c^2)^3 \le (a^2+b^2+c^2)^2 \Leftrightarrow a^2+b^2+c^2 \le 1 \Rightarrow a+b+c \le \sqrt{3}[/TEX]