[Toán 10] Công thức lượng giác trong tam giác

L

luantran1997

a:[tex] sin(A) + sin(B) + sin(C) \le \ 3\frac{\sqrt{3}}{2} [/tex]

Đặt [tex] M = sin(A) + sin(B) + sin(C) [/tex]

[tex] \Leftrightarrow M + sin(\frac{pi}{3}) = sin(A) + sin(B) + sin(C) + sin(\frac{pi}{3}) [/tex]

[tex] \Leftrightarrow M + sin(\frac{pi}{3}) = 2sin(\frac{A+B}{2})sin(\frac{A-B}{2}) + 2sin(\frac{C + \frac{pi}{3}}{2})sin(\frac{C - \frac{pi}{3}}{2}) [/tex]

[tex] \le \ 2sin(\frac{A+B}{2}) + 2sin(\frac{C + \frac{pi}{3}}{2}) [/tex]

[tex] \le \ 4sin(\frac{A+B+C}{4} + \frac{PI}{12}) [/tex]

[tex] M + sin(\frac{pi}{3}) \le \ 4 sin( \frac{pi}{3}) [/tex]

dấu = xảy ra khi ABC cân.
 
Last edited by a moderator:
H

huynhcongduy28

Mình không rõ chổ $\le \ 2sin(\frac{A+B}{2})$ + $2sin(\frac{\frac{C}{2} + \frac{pi}{3}}{2})$ bạn giải thích rõ hơn dùm mình nha
 
Last edited by a moderator:
L

luantran1997

[tex] ( 1- cos(A))( 1-cos(B))(1-cos(C)) \le \ \frac{1}{8} [/tex]

SỬ DỤNG CÔNG THỨC GÓC NHÂN ĐÔI, TA ĐƯỢC:

[tex] ( Sin( \frac{A}{2})^2(sin( \frac{B}{2} )^2(sin( \frac{C}{2})^2 \le \ \frac{1}{64} [/tex]

[tex] \frac{(cos(A) + cos(B) + cos(C)-1)^2}{16} \le \ \frac{1}{64} [/tex]

[tex] cos(A) + cos(B) + cos(C) \le \ \frac{3}{2} [/tex]

[tex] - 2cos(\frac{A + B}{2}) cos(\frac{A - B}{2}) + 2sin(\frac{C}{2})^2 + \frac{1}{2} \ge \ 0 [/tex]

[tex]2( sin(\frac{C}{2})^2 - 2cos(\frac{A + B}{2}) cos(\frac{A - B}{2}) + \frac{1}{4}cos(\frac{A - B}{2})^2) - \frac{1}{2}cos(\frac{A - B}{2})^2 + \frac{1}{2} \ge \ 0 [/tex]

[tex] 2(sin(\frac{C}{2}) - cos(\frac{A - B}{2}))^2 + \frac{1}{2}( 1 - cos(\frac{A - B}{2})^2)) \ge \ 0 [/tex]

với sin(..), cos(...) <=1 . Hiển nhiên! dấu = xảy ra khi ABC cân.
 
Last edited by a moderator:
L

luantran1997

huynhcongduy28 said:
Mình không rõ chổ $\le \ 2sin(\frac{A+B}{2})$ + $2sin(\frac{\frac{C}{2} + \frac{pi}{3}}{2})$ bạn giải thích rõ hơn dùm mình nha
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

bạn nhẩm nghiệm được thấy: tam giác ABC cân, dẫn tới cos(A-B) =1, mặt khác, cos(A-B) <= 1, trường hợp này sẽ làm xuất hiện giá trị nhỏ hơn hoặc lớn hơn...O:)
 
N

noinhobinhyen

huynhcongduy28 said:
Cho tam giác ABC. Chứng minh
a) sinA + sinB + sinC \leq 3căn3/2
P/s : làm sao để ghi phân số ạ ? em là mem mới
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...


ở câu a chúng ta có thể làm ntn :

Sử dụng pp tiếp tuyến chúng ta tìm ra 1 bđt như sau

$sinA \leq \dfrac{\pi}{6}(A-\dfrac{\pi}{3})+\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

áp dụng ta có :

$sinA+sinB+sinC \leq \dfrac{\pi}{6}(A+B+C-\pi)+\dfrac{3\sqrt{3}}{2} = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom