Cho tam giác ABC vs AB=c;BC=a;CA=b và [tex]l_a;l_b;l_c[/tex] lần lượt là độ dài 3 đường phân giác góc A;B;C của tam giác.Cmr:
[TEX]\frac{(a^2+b^2+c^2)(l_a+l_b+l_c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}< cotgA+cotgB+cotgC[/TEX]
có lẽ là:
[TEX]\begin{array}{l}\frac{{\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\left( {{l_a} + {l_b} + {l_c}} \right)}}{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}} \le \frac{9}{{16}}\left( {\cot A + \cot B + \cot C} \right)\\ \Leftrightarrow \frac{{\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\left( {{l_a} + {l_b} + {l_c}} \right)}}{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}} \le \frac{{9R}}{{16}}\frac{{\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}}{{abc}}\\\Leftrightarrow \frac{{{l_a} + {l_b} + {l_c}}}{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}} \le \frac{{9R}}{{16abc}}\\VT = \frac{{\sum {\frac{{2bc}}{{b + c}}c{\rm{os}}\frac{A}{2}} }}{{\left( {a +b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}} \le \frac{{\sum {\frac{{b + c}}{2}c{\rm{os}}\frac{A}{2}} }}{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}} = \frac{{2R\sum {{{\cos }^2}\frac{A}{2}c{\rm{os}}\frac{{B - C}}{2}} }}{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}} \le \frac{{2R\sum {{{\cos }^2}\frac{C}{2}} }}{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}} \le \frac{{\frac{9}{2}R}}{{8abc}} = VP\end{array}[/TEX]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn