[Toán 10] CM BĐT

[gaubong9x]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Nếu a,b,c là 3 cạnh 1 tam giác và a+b+c=3
CM : [TEX]3a^2 + 3b^2 + 3c^2 + 4abc \geq 13[/TEX]

 

[tueminh24]

Ta có: a + b + c = 3
[TEX]\Rightarrow3(a + b +c)^2 = 27 \Rightarrow 3a^2 + 3b^2 + 3c^2 = 27 – 6(ab + bc + ac) [/TEX]
[TEX]3a^2 + 3b^2 + 3c^2 + 4abc = 13 + 14 - 6(ab + bc + ac) + 14 + 4abc[/TEX]
Do đó cần chứng minh: [TEX]14 - 6(ab + bc + ac) + 14 + 4abc \geq 0[/TEX]Ta có : 3 – 2a > 0, 3 – 2b > 0, 3 – 2c > 0.
[TEX]\Rightarrow 1 \geq (3 - 2a)(3 -2b)(3 - 2c)[/TEX]
[TEX]\Rightarrow 1 \geq 27 - 54 + 12(ab + bc +ac) - 8abc [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 4abc \geq -14 + 6(ab + bc + ac)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow14 - 6(ab + bc + ac) + 14 + 4abc \geq 0 [/TEX]
Do đó ta suy ra đpcm
Dzậy là xong. .
Neu bạn nào có rảnh thì Giải thử bài của Minh, hông biết có phải là sai đề hay không mà giải không được.(Là ma mới nên trình bày không tốt, đề cho là hệ hai phương trình)
[tex]\left\{ \begin{array}{l} \sqrt x-\sqrt y=1\\ \sqrt{x-1}-sqrt{y-1}=1 \end{array} \right.[/tex]
Đề đúng chưa bạn???

 

[mu_di_ghe]

Neu bạn nào có rảnh thì Giải thử bài của Minh, hông biết có phải là sai đề hay không mà giải không được.(Là ma mới nên trình bày không tốt, đề cho là hệ hai phương trình)
[tex]\left\{ \begin{array}{l} \sqrt x-\sqrt y=1\\ \sqrt{x-1}-sqrt{y-1}=1 \end{array} \right.[/tex]

Nếu đề đúng là thế này thì dễ quá

Trừ vế với vế ta được

[TEX]\sqrt{x}-\sqrt{x-1}=\sqrt{y}-\sqrt{y-1}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x-1} }=\frac{1}{\sqrt{y}+\sqrt{y-1} }[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \sqrt{x}+\sqrt{x-1}=\sqrt{y}+\sqrt{y-1} \Leftrightarrow x=y[/TEX]

Thay lại phương trình số 1 ta có hệ vô nghiệm

 

[thefool]

em lên trình bày rõ tai sao x=y.chác là cộng tùng vế hai phương trình hẳ.

 

[mu_di_ghe]

em lên trình bày rõ tai sao x=y.chác là cộng tùng vế hai phương trình hẳ.

Xét x>y(>1) thì VT>VP

Nếu y>x(>1) thì VP >VT

ok?

 

[tueminh24]

Ma mới nên chưa quen lắm, nên post nhầm đề. Nhưng dù sao thì cũng thanks nhiều!
Nếu bạn nào rảnh nữa thì giải lại dùm cái
Cho hệ:
[TEX]\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y} = 1[/TEX]
[TEX]\sqrt[3]{x-1} - \sqrt[3]{y-1} = 1 [/TEX]
Còn như đề trên thì quá dễ.
Xét điều kiện x>1 và y>1 ta có:
[TEX]\sqrt[2]{x}=\sqrt[2]{y} + 1 [/TEX]
[TEX]\sqrt[2]{x-1}=\sqrt[2]{y-1} + 1 [/TEX]
=> [TEX]x = y + 1 + 2\sqrt[2]{y}[/TEX]
[TEX]x - 1 = y - 1 +1 + 2\sqrt[2]{y - 1}[/TEX]
=> [TEX] y + 1 + 2\sqrt[2]{y}=y +1 + 2\sqrt[2]{y - 1}[/TEX]
<=> [TEX]2\sqrt[2]{y}=2\sqrt[2]{y - 1}[/TEX]
Do đó hệ vô nghiệm.

 

[mu_di_ghe]

Ma mới nên chưa quen lắm, nên post nhầm đề. Nhưng dù sao thì cũng thanks nhiều!
Nếu bạn nào rảnh nữa thì giải lại dùm cái
Cho hệ:
[TEX] \sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y} = 1[/TEX]
[TEX]\sqrt[3]{x-1} - \sqrt[3]{y-1} = 1 [/TEX]

Thế này cũng chưa khó lắm. Đặt ẩn phụ

[TEX]\sqrt[3]{x}=a \ ; \ \ \sqrt[3]{y}=b \ ; \ \sqrt[3]{x-1}=c \ ; \ \sqrt[3]{y-1}=d.[/TEX]

Ta có hệ

[TEX]\left {a-b=1 \ \ \ (1) \\ c-d=1 \ \ \ (2) \\ a^3-c^3=1 \ \ (3) \\ b^3-d^3=1 \ \ (4)[/TEX]

Sử dụng phương pháp thế ta được

[TEX](4) \Leftrightarrow (a-1)^3 - (c-1)^3=1 \Leftrightarrow a^3-3a^2+3a-1 -(c^3-3c^2+3c-1)-1=0 \\ \Leftrightarrow 3(a-c)-3(a-c)(a+c)=0 \Leftrightarrow \left [ a=c \\ a+c=1[/TEX]

Dễ thấy a=c không thoả mãn.

Với phương trình a+c=1 thì có rất nhiều cách để giải quyết. Xin tạm nêu 3 cách

Cách 1: thế c=1-a vào (3) ta được

[TEX]a^3-(1-3a+3a^2-a^3)=1 \Leftrightarrow 2a^3-3a^2+3a-2=0 \\ \Leftrightarrow (a-1)(2a^2-a+2)=0 \Leftrightarrow a=1 \Leftrightarrow x=1 \Rightarrow y=0[/TEX]

Cách 2:

[TEX]a+c=1 \Leftrightarrow \sqrt[3]{x}-1+\sqrt[3]{x-1}=0 \ \ (*)\\ \Leftrightarrow \frac{x-1}{\sqrt[3]{x^2}+\sqrt{x}+1}+\sqrt{x-1}=0 \\ \Leftrightarrow \left [\sqrt[3]{x-1}=0 \\ \frac{\sqrt[3]{(x-1)^2}}{\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}+1}+1=0 \ \ (VN)[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow x=1 \Rightarrow y=0[/TEX]

Cách 3 : Đơn giản hơn: Vế trái của [TEX](*)[/TEX] luôn đồng biến do đó phương trình có nghiệm duy nhất x=1 => y=0

 

[tueminh24]

Cảm ơn pác "mu_di_ghe". Dzậy mà cứ nghĩ không ra .
Nhung nếu đề là
Cho hệ:
[TEX]\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = 1[/TEX]
[TEX]\sqrt[3]{x-1} + \sqrt[3]{y-1} = 1 [/TEX]
thì không có a = c hay a + c = 1 được. Dzậy phải làm bằng cách nào?

 

[mcdat]

Cảm ơn pác "mu_di_ghe". Dzậy mà cứ nghĩ không ra .
Nhung nếu đề là
Cho hệ:
[TEX](*) \left{\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = 1 \\ \sqrt[3]{x-1} + \sqrt[3]{y-1} = 1 [/TEX]
thì không có a = c hay a + c = 1 được. Dzậy phải làm bằng cách nào?

[TEX]\blue (*) \Rightarrow \sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{x-1} = \sqrt[3]{y-1}-\sqrt[3]{y} \\ \ \ \ \Leftrightarrow \frac{1}{A} = \frac{-1}{B} \ (A>0 \ & \ B>0) \\ \Rightarrow PTVN[/TEX]

 

[tieudao]

trả lời

[TEX]\blue (*) \Rightarrow \sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{x-1} = \sqrt[3]{y-1}-\sqrt[3]{y} \\ \ \ \ \Leftrightarrow \frac{1}{A} = \frac{-1}{B} \ (A>0 \ & \ B>0) \\ \Rightarrow PTVN[/TEX]

Hay quá.!.
thế mà không nghĩ ra.
hay
mình làm bài này tương tự bài của bạn "mu_di_ghe" nhưng vẫn không ra.
thì ra có cách này hay
nhưng bạn có bài nào tổng quát hơn không.
bài này rơi vào trường hợp đặc biệt roài.

 

[tueminh24]

[TEX]\blue (*) \Rightarrow \sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{x-1} = \sqrt[3]{y-1}-\sqrt[3]{y} \\ \ \ \ \Leftrightarrow \frac{1}{A} = \frac{-1}{B} \ (A>0 \ & \ B>0) \\ \Rightarrow PTVN[/TEX]

A va B la gi? Tai sao A va B lai duong?
Neu nhu pac "mu_di_ghe" thi A va B la can bac 2 con day la can bac 3.
Cho nay xin may pac chi dum, chua hieu lam

 

[mu_di_ghe]

Nhung nếu đề là
Cho hệ:
[TEX]\left {\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = 1 \\ \sqrt[3]{x-1} + \sqrt[3]{y-1} = 1 [/TEX]
thì không có a = c hay a + c = 1 được. Dzậy phải làm bằng cách nào?

[TEX]\blue (*) \Rightarrow \sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{x-1} = \sqrt[3]{y-1}-\sqrt[3]{y} \\ \ \ \ \Leftrightarrow \frac{1}{A} = \frac{-1}{B} \ (A>0 \ & \ B>0) \\ \Rightarrow PTVN[/TEX]

Thế này thì cũng vẫn còn rườm rà. Đánh giá đơn giản hơn:

[TEX]1=\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y} [/TEX] [TEX]> \sqrt[3]{x-1}+\sqrt[3]{y-1}=1. [/TEX]

Vậy hệ vô nghiệm

A va B la gi? Tai sao A va B lai duong?
Neu nhu pac "mu_di_ghe" thi A va B la can bac 2 con day la can bac 3.
Cho nay xin may pac chi dum, chua hieu lam

với căn bậc 3 thì vẫn có thể dùng cách nhân liên hợp. Áp dụng hằng đẳng thức

[TEX]a-b=\frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2} [/TEX] với [TEX]a^2+ab+b^2 >0 \ \ \forall a,b[/TEX]

 

[tueminh24]

Thanks mấy pác nhiều!
Dzậy gặp mấy kỉểu bài này thì áp dụng kiểu nhân liên hợp là xong? Có phải áp dụng cho các trường hợp khác vẫn được?

 

[mu_di_ghe]

Thanks mấy pác nhiều!
Dzậy gặp mấy kỉểu bài này thì áp dụng kiểu nhân liên hợp là xong? Có phải áp dụng cho các trường hợp khác vẫn được?

Phương pháp nhân liên hợp chỉ hiệu quả với 2 điều kiện: đã nhẩm trước được nghiệm (và nghiệm này phải đẹp) ; sau khi rút gọn nhân tử chung phải được một phương trình mới đơn giản hơn (thường thì có thể giải bằng phương pháp đánh giá)

Bạn vào đây để xem thêm về phương pháp nhân liên hợp :

http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?t=29826

P/S : đề nghị mod move mấy bài viết này sang sbox phương trình, hệ phương trình. Để ở đây là nhầm box rùi ^ ^