[Toán 10] - CM bất đẳng thức siêu khó

[mua_sao_bang_98]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Hì hì! với mình là khó không biết các bạn có khó không nhưng cứ ghi khó vào cho nó đẹp!

B1: Cho x>1; y>2; z>3
và $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2$

CMR: $\sqrt{x+y+z}$ \geq $\sqrt{x-1}+\sqrt{y-2}+\sqrt{x-3}$

B2: Cho a,b,c >0 và a+b+c=1

CMR: $\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\sqrt[3]{abc}$ \geq $\frac{10}{9(a^2+b^2+c^2)}$

B3: Cho a,b,c >0 thỏa: $a^2+b^2+c^2=1$

CMR: $\frac{1}{1-ab}+\frac{1}{1-ac}+\frac{1}{1-bc}$ \leq $\frac{9}{2}$

 

[braga]

$\fbox{3}.$ Đầu tiên ta sẽ chứng minh $\forall x \geq 1$ thì:
$$\dfrac{1}{1-x}\leq \dfrac{3}{4}+\dfrac{9}{4}x\,\,\,\,(*)$$
Thật vậy $(*)\iff 1\leq \dfrac{3}{4}(1+2x-3x^2)$
$\iff \dfrac{1}{4}.(9x^2-6x+1)\geq 0$
$\iff \dfrac{1}{4}.(3x-1)^2\geq 0$ (Luôn đúng)
Áp dụng bất đẳng thức trên với $ab,bc,ca,$ và để ý $1=a^2+b^2+c^2 \geq ab+bc+ca$ ta có:
$$\dfrac{1}{1-ab}+\dfrac{1}{1-bc}+\dfrac{1}{1-ca}\leq \dfrac{9}{4}+\dfrac{9}{4}(ab+bc+ca)\leq \dfrac{9}{2}$$
Vậy nên ta có điều phải chứng minh.Dấu bằng xảy ra $\iff a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$

 

[linh123658]

Bài 1 xem lại đề nhá:
x>1\Rightarrow$\frac{1}{x}$<1
y>2\Rightarrow$\frac{1}{y}$<$\frac{1}{2}$
z>3\Rightarrow$\frac{1}{y}$<$\frac{1}{3}$
\Rightarrow$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$<$2$Mâu thuẫn vs giả thiết$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$=2
Với lại thử x=y=z=100 bđt sai