[Toán 10 chuyên BĐT] Bất đẳng thức, cực trị

[lebalinhpa1]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1 : Cho a,b thuộc R thỏa (2+a).(1+b) = $\frac{9}{2}$.Tìm GTNN của biểu thức :
P = $\sqrt{16 + a^4}$ + 4$\sqrt{1 + b^4}$

Bài 2: Cho x,y,z thuộc R và thỏa mãn $x^2$ + 2$y^2$ + 5$z^2$ =1.Tìm min,max của
M= xy + yz + zx

Bài 3: Cho a,b,c >0.Cmr $(a^3+b^3+c^3)^2$ < $(a^2+b^2+c^2)^3$

Bài 4: Cho 0 \leq y \leq x \leq 1. C/mr:

$\frac{x^3.y^2+ y^3 + x^2}{x^2 + y^2 + 1}$ \geq xy

Bài 5: Giả sử x,y lần lượt là các số thỏa mãn các phương trình
$x^2$ + 2ax + 9 = $y^2$ - 2by + 9 =0 , (a,b \geq 3) Tìm GTNN,GTNN của
f(a,b) = $3.(x-y)^2 + (\frac{1}{x} - \frac{1}{y})^2$

 

[lp_qt]

Câu 1

$P=\sqrt{16+a^4}+\sqrt{16+16b^4} \ge \sqrt{(4+4)^2+(a+4b)^2}=\sqrt{64+(a^2+4b^2)^2}$

$(2+a)(1+b)=\dfrac{9}{2} \Longleftrightarrow a+2b+ab=\dfrac{5}{2}$

Ta có:

$\left\{\begin{matrix}
a^2+1 \ge 2a & \\
4b^2+1 \ge 4b & \\
a^2+4b^2 \ge 4ab&
\end{matrix}\right. \rightarrow a^2+4b^2+\dfrac{1}{2}( a^2+4b^2) \ge 2a+4b+2ab
\rightarrow \dfrac{3}{2}(a^2+4b^2) \ge 3
\rightarrow a^2+4b^2 \ge 2$

$\rightarrow P \ge 2\sqrt{17}$

 

[hien_vuthithanh]

Bài 2: Cho x,y,z thuộc R và thỏa mãn $x^2$ + 2$y^2$ + 5$z^2$ =1.Tìm min,max của
M= xy + yz + zx

Max :

$$2x^2+3y^2+6z^2=\dfrac{x^2}{\dfrac{1}{2}}+\dfrac{y^2}{\dfrac{1}{3}}+\dfrac{z^2}{\dfrac{1}{6}} \ge \dfrac{(x+y+z)^2}{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6}}=(x+y+z)^2$$

$$\rightarrow x^2+2y^2+5z^2 \ge 2(xy+yz+zx) \rightarrow M \le \dfrac{1}{2}$$

 

[hien_vuthithanh]

Bài 2: Cho x,y,z thuộc R và thỏa mãn $x^2$ + 2$y^2$ + 5$z^2$ =1.Tìm min,max của
M= xy + yz + zx

$$M=xy+yz+zx$$
$$\rightarrow M(x^2+2y^2+5z^2)=xy+yz+zx$$
$$\leftrightarrow 5Mz^2-(x+y)z+Mx^2-xy+2My^2=0$$
PT có nghiệm $$\leftrightarrow \Delta=(x+y)^2-20M(Mx^2-xy+2Ay^2)\ge 0 \leftrightarrow (20M^2-1)x^2-2(10M+1)xy+(40M^2-1)y^2 \le 0$$
$$\leftrightarrow \Delta' =(10M+1)^2-(20M^2-1)(40M^2-1) \ge 0$$
$$\leftrightarrow M(2M-1)(20M^2+10M+1)\le 0 \leftrightarrow 0\le M \le \dfrac{1}{2}$$