Toán 10 chứng minh

[emxaunhatlang]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác ABC thỏa mãn đồng thời $sinB + sinC =2sinA$ và $tanB + tanC = 2 tanA$ . Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều.

 

[eye_smile]

Ta có: $\left\{\begin{matrix}sinB+sinC=2sinA & \\tanB+tanC=2tanA &\end{matrix}\right.$

\Leftrightarrow $\left\{\begin{matrix}\dfrac{b}{2R}+\dfrac{c}{2R}=2.\dfrac{a}{2R} & \\\dfrac{1}{cotB}+\dfrac{1}{cotC}=2.\dfrac{1}{cot} &\end{matrix}\right.$

\Leftrightarrow $\left\{\begin{matrix}b+c=2a & \\\dfrac{4S}{a^2+c^2-b^2}+\dfrac{4S}{a^2+b^2-c^2}=2.\dfrac{4S}{b^2+c^2-a^2} &\end{matrix}\right.$

\Leftrightarrow $\left\{\begin{matrix}b+c=2a & \\\dfrac{1}{a^2+c^2-b^2}+\dfrac{1}{a^2+b^2-c^2}=2.\dfrac{1}{b^2+c^2-a^2} &\end{matrix}\right.$

\Leftrightarrow $\left\{\begin{matrix}b+c=2a & \\a^2(b^2+c^2-a^2)=(a^2+b^2-c^2)(a^2+c^2-b^2) &\end{matrix}\right.$

\Leftrightarrow $\left\{\begin{matrix}b+c=2a & \\2a^4-(b^2-c^2)^2-a^2(b^2+c^2)=0 &\end{matrix}\right.$

\Leftrightarrow $\left\{\begin{matrix}b+c=2a & \\2a^4-(b-c)^2.4a^2-a^2(b^2+c^2)=0 &\end{matrix}\right.$

\Leftrightarrow $\left\{\begin{matrix}b+c=2a & \\2a^2-(b-c)^2.4-(b^2+c^2)=0 &\end{matrix}\right.$

\Leftrightarrow $\left\{\begin{matrix}b+c=2a & \\bc-a^2-2(b-c)^2=0 &\end{matrix}\right.$

\Leftrightarrow $\left\{\begin{matrix}b+c=2a & \\9(b-c)^2=0 &\end{matrix}\right.$

\Leftrightarrow $\left\{\begin{matrix}b+c=2a & \\b=c &\end{matrix}\right.$

\Leftrightarrow $a=b=c$

\Rightarrow đpcm.

 

[emxaunhatlang]

Tại sao từ dấu <=> thứ 1 lại ra được dấu. <=> thứ 2 vậy bạn, áp dụng công thức nào thế bạn.? Bạn có thể ghi rõ cho mình không.?

 

[hien_vuthithanh]

Chứng minh 1 cái còn mấy cái khác tương tự

$cotA=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{4S}$

Có : $cotA=\dfrac{cosA}{sinA}=\dfrac{\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}}{\dfrac{2S}{bc}}=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{4S}$

$\rightarrow \dfrac{1}{cotA}=...$
$\rightarrow$ dpcm

 

[emxaunhatlang]

cho mình hỏi từ dấu <=> thứ 8 sang thứ 9 bạn giải thích rõ hơn được không bạn

 

[eye_smile]

Bạn nhân ra, thay $a=\dfrac{b+c}{2}$ vào.

$bc-a^2-2(b-c)^2=0$

\Leftrightarrow $4bc-4a^2-8(b-c)^2=0$

\Leftrightarrow $4bc-(b+c)^2-8b^2-8c^2+16bc=0$

\Leftrightarrow $9(b-c)^2=0$

 

[emxaunhatlang]

chứng minh hộ tớ hai phần này nhé

1)
[TEX]\sqrt{3}cosB+3(cosA+cosC)[/TEX]\leq[TEX]\frac{5\sqrt{3}}{2}[/TEX]

 

[hien_vuthithanh]

CM :$\sqrt{3}cosB+3(cosA+cosC) \le\dfrac{5\sqrt{3}}{2}$

$\sqrt{3}cosB+3(cosA+cosC) $

$\le \sqrt{3}(1-2sin^2\dfrac{B}{2})+6cos\dfrac{A+C}{2}cos\dfrac{A-C}{2}$

$ \le -2\sqrt{3}sin^2\dfrac{B}{2}+6sin\dfrac{B}{2}+\sqrt{3}$ (Do $cos\dfrac{A-C}{2}\le 1)$

$=-2\sqrt{3}(sin\dfrac{B}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2})^2+\dfrac{5\sqrt{3}}{2}\le \dfrac{5\sqrt{3}}{2} $

Dấu = khi tam giác đều