[Toán 10] Chứng minh

[leviettung01]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho số thực dương a,b sao cho :

$(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\dfrac{1}{\sqrt{a+3b}}+\dfrac{1}{\sqrt{3a+b}})=2$

CM $a=b$

 

[vipboycodon]

Ta có: $\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{a+3b}} \le \dfrac{1}{2}(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{a+b}{a+3b})$

$\dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{a+3b}} \le \dfrac{1}{2}(\dfrac{1}{2}+\dfrac{2b}{a+3b})$

$\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b+3a}} \le \dfrac{1}{2}(\dfrac{1}{2}+\dfrac{2a}{b+3a})$

$\dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{b+3a}} \le \dfrac{1}{2}(\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{a+b}{b+3a})$

Cộng vế với vế ta được: $(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\dfrac{1}{\sqrt{a+3b}}+\dfrac{1}{\sqrt{b+3a}}) \le 2$

Dấu "=" xảy ra khi $a = b$