[Toán 10] Chứng minh:

[changtraidatinh589]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Tam giac ABC: [TEX]Cos^2A+Cos^2B+cos^2C=1-2cosA.cosB.cosC[/TEX]

 

[minh_minh1996]

Ta có \cos^2A=1-sin^2A

cos^2A+cos^2B+cos^2C = 1- 2 cosA. cosB.cosC \Leftrightarrow sin^2A+sin^2B+sin^2C=2(1+cosA.cosB.cosC )

Ta có :
(sinA+sinB+sinC)^2-2(\sum {sinAsinB})(*)

Mà sinA+sinB+sinC=4cos\frac{A}{2}.cos\frac{B}{2}.cos \frac{C}{2}

(*) \Rightarrow 16.cos^2\frac{A}{2}.cos^2\frac{B}{2}.cos^2.\frac{C }{2} - 2(\sum {sinAsinB})

\Leftrightarrow 16.\frac{1+cos^2A}{2}.\frac{1+cos^2B}{2}. \frac{1+cos^2C}{2} - 2(\sum {sinAsinB})

\Leftrightarrow 2(1+cosAcosBcosC+cosA+cosB+cosC+\sum{cosAcosC-sinAsinB})

\Leftrightarrow2(1+cosAcosBcosC+cosA+cosB+cosC+ \sum{cos(A+B)})

\Leftrightarrow 2(1+cosAcosBcosC+cosA+cosB+cosC-cosA-cosB-cosC})=2(1+cosAcosBcosC) đpcm

 

[hn3]

Em tham khảo bài giải của foxy_hihe nhé :

Ta có :

[TEX]cos2A + cos2B + cos2C = -1- 4cosAcosBcosC (1)[/TEX]

Ta chứng minh [TEX](1)[/TEX] :

[TEX]2cos(A + B).cos(A - B) + cos2C[/TEX]

[TEX]= -2cosC.cos(A - B) + 2cos^2C - 1[/TEX]

[TEX]= -2cosC . [ cos(A - B) - cosC ] - 1[/TEX]

[TEX]= -2cosC . [ cos(A - B) + cos(A + B) ] - 1[/TEX]

[TEX]= -2cosC . 2cosA.cos(-B) - 1= -1- 4cosAcosBcosC[/TEX]

Ta chứng minh bài toán :

[TEX]cos^2 A +cos^2 B + cos^2 C = 1- 2cosAcosBcosC[/TEX]

Từ vế trái ta sử dụng công thức hạ bậc :

[TEX]= (1 + cos2A)/2 + (1 + cos2B)/2 + (1 + cos2C)/2[/TEX]

[TEX]= 3/2 + 1/2(cos2A + cos2B + cos2C)[/TEX]

Từ [TEX](1)[/TEX] ta có :

[TEX]= 3/2 + 1/2(-1 - 4.cosA.cosB.cosC)[/TEX]

[TEX]=1- 2cosAcosBcosC[/TEX]

 

[ka_gu_chi]

:d

VT= ( 1+ cos2a)/2 + (1 +cos2b)/2 + (1 + cos2c)/2
= (3 + cos2a + cos2b + cos2c)/2
={ 3 + 2 cos2(a +b)cos2(a-b) + cos2(a+b)}/2
= ( 3-1 - 4 cosa*cosb*cosc)/2
= 1 - 2cosa*cosb*cosc \Rightarrowdpcm
don gian ma :khi (58):