[Toán 10] Chứng minh tam giác

[rinnegan_97]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

nhan dang tam giác ABc nếu :

a)[TEX] cotA + cotB + cotC= tan \frac{A}{2} + tan \frac{B}{2} + tan \frac{C}{2}[/TEX]

b) [TEX] cot \frac{A}{2}cot \frac{B}{2}cot \frac{C}{2} - ( \frac{1}{cos (\frac{A}{2})}+ \frac{1}{cos (\frac{B}{2})}+ \frac{1}{cos (\frac{C}{2})}) = cotA + cotB + cotC[/TEX]

 

[levietdung1998]

Phần a/

\[\begin{array}{l}
\cot A + \cot B = \frac{{\sin \left( {A + B} \right)}}{{\sin A.\sin B}} = \frac{{\sin \left( {180^\circ - \left( {A + B} \right)} \right)}}{{\frac{1}{2}\left( {\cos \left( {A - B} \right) - \cos \left( {A + B} \right)} \right)}} = \frac{{2\sin C}}{{\cos \left( {A + B} \right) + \cos C}}\\
+ \cos \left( {A + B} \right) \le 1 \to \cos \left( {A + B} \right) + \cos C \le 1 + \cos C\\
\to \frac{{2\sin C}}{{\cos \left( {A + B} \right) + \cos C}} \ge \frac{{2\sin C}}{{1 + \cos C}} = \frac{{4\sin \frac{C}{2}.\cos \frac{C}{2}}}{{2{{\cos }^2}\frac{C}{2}}} = \frac{{2\sin \frac{C}{2}}}{{\cos \frac{C}{2}}} = 2\tan \frac{C}{2}\\
\to \cot A + \cot B \ge 2\tan \frac{C}{2}\left( 1 \right)
\end{array}\]

Chứng minh tương tự ta được như sau
\[\begin{array}{l}
\cot B + \cot C \ge 2\tan \frac{A}{2}\,\,\,\,\left( 2 \right)\\
\cot C + \cot A \ge 2\tan \frac{B}{2}\,\,\,\,\left( 3 \right)\\
\left( 1 \right)\left( 2 \right)\left( 3 \right) \to \cot A + \cot B + \cot C \ge \tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2} + \tan \frac{C}{2}\\
= \leftrightarrow \cos \left( {A - B} \right) = 1\,\,,\,\,\,\cos \left( {B - C} \right) = 1,\,\,\,\,\,\cos \left( {C - A} \right) = 1\\
\leftrightarrow A = B = C = 60^\circ
\end{array}\]

=>Tam giác đều

“Bài dự thi event box toán 10”

 

[levietdung1998]

Phân b/
\[\begin{array}{l}
+ \cot \frac{A}{2} + \cot \frac{B}{2} + \cot \frac{C}{2}\\
= \tan \frac{{B + C}}{2} + \tan \frac{{C + A}}{2} + \cot \frac{C}{2}\\
= \cot \frac{A}{2}\cot \frac{B}{2}\cot \frac{C}{2}\\
+ \cot A = \frac{1}{{\tan A}} = \frac{{\cot \frac{A}{2} - \tan \frac{A}{2}}}{2}\\
\cot B = \frac{1}{{\tan B}} = \frac{{\cot \frac{B}{2} - \tan \frac{B}{2}}}{2}\\
\cot C = \frac{1}{{\tan C}} = \frac{{\cot \frac{C}{2} - \tan \frac{C}{2}}}{2}\\
\\
\to PT \to \cot \frac{A}{2} + \cot \frac{B}{2} + \cot \frac{C}{2} - \left( {\frac{1}{{\cos \frac{A}{2}}} + \frac{1}{{\cos \frac{B}{2}}} + \frac{1}{{\cos \frac{C}{2}}}} \right) = \frac{1}{2}\left[ {\left( {\cot \frac{A}{2} - \tan \frac{A}{2}} \right) + \left( {\cot \frac{B}{2} - \tan \frac{B}{2}} \right) + \left( {\cot \frac{C}{2} - \tan \frac{C}{2}} \right)} \right]\\
\leftrightarrow \frac{1}{{\sin A}} + \frac{1}{{\sin B}} + \frac{1}{{\sin C}} = \frac{1}{{\cos \frac{A}{2}}} + \frac{1}{{\cos \frac{B}{2}}} + \frac{1}{{\cos \frac{C}{2}}}\\
\leftrightarrow A = B = C = 60^\circ \\

\end{array}\]

Vậy tam giác ABC đều

 

[forum_]

BTC:

Đúng, +4đ

==> Cảm ơn bạn đã tham gia event