[toán 10] chứng minh mệnh đề bằng phương pháp quy nạp toán học

[doannhung99]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chứng minh:
a) $(\dfrac{n+1}{n})^n$\leq $n+1$ (với n là số nguyên dương )
b) $(n!)^2$ \geq $n^n$ (với n là số nguyên dương)

 

[forum_]

Vì n nguyên dương nên:

$\dfrac{n+1}{n}$ > 1 \Rightarrow $\dfrac{n+1}{n}$ > $\dfrac{n+2}{n+1}$

\Rightarrow $(\dfrac{n+1}{n})^n$ > $(\dfrac{n+2}{n+1})^n$

Và kết hợp giả thiết đc:

$n+1$ \geq $(\dfrac{n+1}{n})^n$ > $(\dfrac{n+2}{n+1})^n$

Thử với n=1 thấy BĐT đúng

Giả sử BĐT đã cho đúng với n=k, tức là

$k+1$ \geq $(\dfrac{k+1}{k})^k$ > $(\dfrac{k+2}{k+1})^k$ (*)

Ta c/m BĐT đúng với n=k+1

Thật vậy:

$(\dfrac{k+2}{k+1})^{k+1}$ \leq $k+2$

\Rightarrow $(\dfrac{k+2}{k+1})^{k}.\dfrac{k+2}{k+1}$ \leq $k+2$

\Rightarrow $(\dfrac{k+2}{n+1})^{k}$ \leq $k+1$

(Vì k nguyên dương nên k+2 khác 0)

BĐT này luôn đúng vì (*)

Theo nguyên lí quy nạp ta có ngay đpcm