[toán 10] chứng minh G duy nhất

[nom1]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tứ giác ABCD. CM rằng :

a/ Có một điểm G duy nhất sao cho

$\vec{GA}+ \vec{GB}+ \vec{GC}+ \vec{GD}=0$

Điểm G như thế gọi là trọng tâm của bốn điểm A,B,C,D. Tuy nhiên, người ta vẫn quen gọi là trọng tâm G của tứ giác ABCD

b/ Trọng tâm G là trung điểm của mỗi đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh đối của tứ giác, nó cũng là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm hai đường chéo của tứ giác

c/ Trọng tâm G nằm trên các đoạn thẳng nối 1 đỉnh của tứ giác và trọng tâm của tam giác tạo bởi 3 đỉnh còn lại

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 1. Xét điểm $G'$ sao cho $\vec{G'A}+\vec{G'B}+\vec{G'C}+\vec{G'D}=0$
hay $4\vec{G'G}+\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}+\vec{GD}=0$ hay $\vec{G'G}=0$ nên $G=G'$

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 2. Giả sử tứ giác đó là $ABCD$
Giả sử trung điểm các cạnh lần lược là $M,N,P,Q$ thì $MNPQ$ là hình bình hành nên trung điểm $MP$ và $NQ$ là trùng nhau. Gọi nó là $G'$
Khi đó $\vec{G'A}+\vec{G'B}+\vec{G'C}+\vec{G'D}=2\vec{G'M}+2\vec{G'P}=0$
Do đó $G=G'$
Gọi trung điểm của $AC$ và $BD$ là $R,S$ thì $MRPS$ là hình bình hành nên suy ra $R,S,G$ thẳng hàng.

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 3. Gọi trọng tâm của tam giác $ABC$ là $T$
Khi đó ta có $\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=3\vec{GT}$ mà $\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=\vec{DG}$ nên $\vec{DG}=3\vec{GT}$
Suy ra $\vec{DG}$ và $\vec{GT}$ trùng phương, suy ra $G,T,D$ thẳng hàng.