[Toán 10] Chứng minh BĐT

[kride_dragon]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho ba số dương a,b,c.......
Chứng minh rằng:
$\dfrac{a^5}{b^2} + \dfrac{b^5}{c^2} +\dfrac{c^5}{a^2} \ge a^3 + b^3 + c^3$

 

[kride_dragon]

Em đăng lần đầu nên không rõ các ký tự ! Mọi người thông cảm cho ạ!

 

[hien_vuthithanh]

$\dfrac{a^5}{b^2}+\dfrac{b^5}{c^2}+\dfrac{c^5}{a^2}$=$\dfrac{a^6}{ab^2}+\dfrac{b^6}{bc^2}+\dfrac{c^6}{ca^2}$\geq $\dfrac{(a^3+b^3+c^3)^2}{ab^2+bc^2+ca^2}$
\Rightarrow cần c/m $\dfrac{a^3+b^3+c^3}{ab^2+bc^2+ca^2}$ \geq 1
\Leftrightarrow $a^3+b^3+c^3$ \geq $ab^2+bc^2+ca^2$
có $ a^3+b^3+b^3$ \geq $ 3ab^2$
tt \Rightarrow$ 3(a^3+b^3+c^3)$ \geq 3( $ab^2+bc^2+ca^2$)
\Rightarrow dpcm

 

[eye_smile]

$\dfrac{a^5}{b^2}+ab^2\ge 2a^3$

$\dfrac{b^5}{c^2}+bc^2\ge 2b^3$

$\dfrac{c^5}{a^2}+ca^2\ge 2c^3$

\Rightarrow $\dfrac{a^5}{b^2}+\dfrac{b^5}{c^2}+\dfrac{c^5}{a^2}\ge (a^3+b^3+c^3)+(a^3+b^3+c^3-ab^2-bc^2-ca^2)\ge a^3+b^3+c^3$

 

[kride_dragon]

có $ a^3+b^3+b^3$ \geq $ 3ab^2$

Giải thích giùm em với????
Em nghĩ chỗ này anh nhâm rồi!!!

 

[huynhbachkhoa23]

Áp dụng AM-GM: $a^3+b^3+b^3\ge 3\sqrt[3]{a^3b^6}=3ab^2$

 

[vozdanh]

Kĩ thuật điểm biên trong BDT AM-GM

Ta nhận thấy [TEX]\frac{a^5}{b^3}[/TEX] = [TEX]\frac{b^5}{c^3} [/TEX]=[TEX] \frac{c^5}{a^3}[/TEX] = [TEX]a^3[/TEX]=[TEX] b^3[/TEX] = [TEX]c^3[/TEX]



ta có nhân xét sau : [TEX]3 m[/TEX][TEX].\frac{a^5}{b^3}[/TEX] + 2 [TEX]n[/TEX] [TEX]a^3[/TEX] \geq [TEX](m+n)[/TEX].[TEX] \sqrt[m+n]{3.\frac{a^5m}{b^2n}.2b^n}[/TEX]

ta suy ra được : [TEX]3\frac{a^5}{b^3} + 2a^3 \geq 5a^3[/TEX]
tương tự ta có BDT cần chứng minh bằng cách cộng từng vế lại