[Toán 10] Chứng minh BĐT

K

kride_dragon

Last edited by a moderator:
H

hien_vuthithanh

a5b2+b5c2+c5a2\dfrac{a^5}{b^2}+\dfrac{b^5}{c^2}+\dfrac{c^5}{a^2}=a6ab2+b6bc2+c6ca2\dfrac{a^6}{ab^2}+\dfrac{b^6}{bc^2}+\dfrac{c^6}{ca^2}\geq (a3+b3+c3)2ab2+bc2+ca2\dfrac{(a^3+b^3+c^3)^2}{ab^2+bc^2+ca^2}
\Rightarrow cần c/m a3+b3+c3ab2+bc2+ca2\dfrac{a^3+b^3+c^3}{ab^2+bc^2+ca^2} \geq 1
\Leftrightarrow a3+b3+c3a^3+b^3+c^3 \geq ab2+bc2+ca2ab^2+bc^2+ca^2
a3+b3+b3 a^3+b^3+b^3 \geq 3ab2 3ab^2
tt \Rightarrow3(a3+b3+c3) 3(a^3+b^3+c^3) \geq 3( ab2+bc2+ca2ab^2+bc^2+ca^2)
\Rightarrow dpcm
 
E

eye_smile

a5b2+ab22a3\dfrac{a^5}{b^2}+ab^2\ge 2a^3

b5c2+bc22b3\dfrac{b^5}{c^2}+bc^2\ge 2b^3

c5a2+ca22c3\dfrac{c^5}{a^2}+ca^2\ge 2c^3

\Rightarrow a5b2+b5c2+c5a2(a3+b3+c3)+(a3+b3+c3ab2bc2ca2)a3+b3+c3\dfrac{a^5}{b^2}+\dfrac{b^5}{c^2}+\dfrac{c^5}{a^2}\ge (a^3+b^3+c^3)+(a^3+b^3+c^3-ab^2-bc^2-ca^2)\ge a^3+b^3+c^3

 
V

vozdanh

Kĩ thuật điểm biên trong BDT AM-GM

Ta nhận thấy [TEX]\frac{a^5}{b^3}[/TEX] = [TEX]\frac{b^5}{c^3} [/TEX]=[TEX] \frac{c^5}{a^3}[/TEX] = [TEX]a^3[/TEX]=[TEX] b^3[/TEX] = [TEX]c^3[/TEX]



ta có nhân xét sau : [TEX]3 m[/TEX][TEX].\frac{a^5}{b^3}[/TEX] + 2 [TEX]n[/TEX] [TEX]a^3[/TEX] \geq [TEX](m+n)[/TEX].[TEX] \sqrt[m+n]{3.\frac{a^5m}{b^2n}.2b^n}[/TEX]

ta suy ra được : [TEX]3\frac{a^5}{b^3} + 2a^3 \geq 5a^3[/TEX]
tương tự ta có BDT cần chứng minh bằng cách cộng từng vế lại
 
Top Bottom