[Toán 10] Chứng minh BDT

[hien_vuthithanh]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

x,y,z>0,xyz=1.c/m
$\dfrac{x^3}{(1+y)(1+z)}+\dfrac{y^3}{(1+z)(1+x)}+ \dfrac{z^3}{(1+x)(1+z)}$ \geq$ \dfrac{3}{4}$

@khoa: Chú ý tiêu đề bài viết. Đã sửa.

 

[huynhbachkhoa23]

$VT =\sum \dfrac{x^4}{1+yz+zx+x} \ge \dfrac{(\sum x^2)^2}{3+2\sum xy+\sum x}$

Áp dụng $\sum xy \le \dfrac{(\sum x)^2}{3} \le \sum x^2$

$VT \ge \dfrac{(\sum x)^4}{27+6(\sum x)^2+9\sum x} =\dfrac{1}{\dfrac{27}{(\sum x)^4}+\dfrac{6}{(\sum x)^2}+\dfrac{9}{(\sum x)^3}}$

$\sum x \ge 3$

Thế vào là có ngay điều cần chứng minh .

 

[lp_qt]

$\dfrac{x^3}{(1+y)(1+z)}+\dfrac{y+1}{8}+\dfrac{z+1}{8}\ge \dfrac{3}{4}x$

\Rightarrow $P+\dfrac{1}{4}(x+y+z)+\dfrac{3}{4}\ge \dfrac{3}{4}(x+y+z)$

\Rightarrow $P \ge \dfrac{1}{2}(x+y+z)-\dfrac{3}{4}\ge \dfrac{1}{2}.3.1-\dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{4}$