[Toán 10] Chứng minh BĐT

[socviolet]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Phần này tớ không chắc lắm nên chứng minh cứ linh ta linh tinh, các bạn thử làm xem.
[TEX]a) a^{2}(1+b^{2})+b^{2}(1+c^{2})+c^{2}(1+a^{2})\geq6abc (a, b, c\geq0)[/TEX]
[TEX]b) a+b\geq\frac{4ab}{1+ab} (a, b>0)[/TEX]
[TEX]c) (1+a)(1+b)(1+c)\geq(1+\sqrt[3]{abc})^{3} (a, b, c\geq0)[/TEX]
[TEX]d) 2a^{4}+\frac{1}{1+a^2}\geq3a^{2}-1[/TEX]
[TEX]e) \frac{a}{a^{2}+b^{2}}+\frac{b}{b^{2}+c^{2}}+\frac{c}{c^{2}+a^{2}}\leq\frac{1}{2}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) (a, b>0)[/TEX]

 

[duyanh_12345]

[TEX]a. VT = a^2 + b^2 + c^2 + a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2[/TEX]

Theo định luật Cauchy cho 3 số không âm:
[TEX]a^2 + b^2c^2 \geq 2abc[/TEX]
Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow [TEX]a^2 = b^2c^2[/TEX]

Tương tự ta có
[TEX]a^2 + b^2 + c^2 + a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 \geq 6abc[/TEX]

Dấu "=" xảy ra
\Leftrightarrow[tex]\left\{ \begin{array}{l} a^2 = b^2c^2 \\ b^2 = a^2c^2 \\ c^2 = a^2b^2\end{array} \right.[/tex]

\Leftrightarrow [TEX]a = b = c = 1[/TEX]

 

[sparda9999]

1) nhân ra rồi dùng cosi cho 6 số ko âm là ra luôn

 

[sparda9999]

2;
[TEX]\frac{4ab}{1+ab}\leq\frac{4ab}{2\sqrt{ab}}=2\sqrt{ab}\leq a+b[/TEX]

 

[socviolet]

2;
[TEX]\frac{4ab}{1+ab}\leq\frac{4ab}{2\sqrt{ab}}=2\sqrt{ab}\leq a+b[/TEX]

Mọi người làm tiếp đê! Sao ý c) tớ không biết làm thì chẳng ai giúp thế này??? :M031:

 

[minhtuyb]

Ý c là một hệ quả nhỏ của Holder mà anh . Tổng quát với r=3
[TEX](a^3+m^3)(b^3+n^3)(c^3+p^3)\geq (abc+mnp)^3[/TEX] (các hạng tử không âm)
Nếu không được dùng Holder thì khai triển ra rồi lần lượt dùng Cauchy:
[TEX]\Leftrightarrow abc+(ab+bc+ca)+(a+b+c)+1\geq abc+3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}+3\sqrt[3]{abc}+1[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (ab+bc+ca)+(a+b+c)\geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}+3\sqrt[3]{abc}[/TEX]
Đúng theo Cauchy 3 số <Q.E.D>
Dấu bằng xảy ra khi [TEX]a=b=c[/TEX]

[tex]e. \frac{a}{a^2+b^2}\leq \frac{a}{2ab}=\frac{1}{2}.\frac{1}{b}[/tex]
Xây dựng các BĐT tương tự rồi cộng lại có Q.E.D

[tex]d. \Leftrightarrow a^4+a^4+(a^2+1)+\frac{1}{a^2+1}\geq 4a^2[/tex]
Đúng theo Cauchy 4 số. Dấu bằng xảy ra khi... (tự tìm nhé anh )