[Toán 10] chứng minh BDT

[friend01]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

3 số không âm a, b, c sao cho a + b +c= 3. CMR:
[TEX]a^2 + b^2 + c^2 + abc\geq4[/TEX]

CMR: 1/(n+1) +1/(n+2) +1/(n+3) +........+1/(n+n)>1/2

 

[vansang95]

Ta có:
[TEX](2-a)(2-b)(2-c) \leq (\frac{6-(a+b+c)}{3})^3 = 1[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 8-4(a+b+c) +2(ab+bc+ca)-abc \leq 1[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 8-12+ (a+b+c)^2 -(a^2 + b^2 + c^2)-abc \leq 1[/TEX]

Chuyển vế ta có dpcm

 

[friend01]

nhầm rùi bạn ơi [TEX](a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2a[/TEX] bạn làm như thế thì thiếu ab+bc+ca

 

[bboy114crew]

3 số không âm a, b, c sao cho a + b +c= 3. CMR:
[TEX]a^2 + b^2 + c^2 + abc\geq4[/TEX]

Chém thử bài này xem:
Đặt [tex]p=a+b+c=3;q=ab+bc+ca;r=abc \Rightarrow p \in [0;3];r \in [0;1][/tex]
Viết lại BĐT cần cm dưới dạng sau:
[tex]9-2q+r \geq 4[/tex]
Theo BĐT Schur bậc 3 ,ta có :[tex]r \geq \max \{0;\frac{4q-9}{3} \}[/tex]
Xét 2 trường hợp :
[tex]q \in [0;\frac{9}{4}][/tex]
Ta có [tex]VT \geq 9-2q \geq 4 \Leftrightarrow q \leq \frac{5}{2}[/tex](luôn đúng [tex] \forall q \in [0;\frac{9}{4}][/tex])
[tex]q \in (\frac{9}{4};3][/tex]
Ta có [tex]VT \geq 9-2q+\frac{4q-9}{3} \geq 4 \Leftrightarrow q \leq 3[/tex](luôn đúng)

 

[lonely1020]

nhầm rùi bạn ơi [TEX](a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2a[/TEX] bạn làm như thế thì thiếu ab+bc+ca

a+b+c = 3 ồi vậy ( a +b + c )^2 = 9, khai triển ra chi vậy bạn?

 

[nhockthongay_girlkute]

3 số không âm a, b, c sao cho a + b +c= 3. CMR:
[TEX]a^2 + b^2 + c^2 + abc\geq4[/TEX]

không mất tính tổng quát giả sử [TEX]a\geq b\geq c\geq \Rightarrow c\leq1[/TEX]
[TEX]\text{ta co:} a^2+b^2+c^2+abc=9-2(ab+bc+ca)+abc=9+ab(c-2)-2c(3-c)[/TEX]
[TEX]\text{lai co }: ab\leq (\frac{a+b}{2})^2=(\frac{3-c}{2})^2 \text{va}: c\leq1\Rightarrow c-2<0[/TEX]
[TEX]\Rightarrow a^2+b^2+c^2+abc\geq 9+(c-2)(\frac{3-c}{2})^2-2c(3-c)[/TEX]
[TEX]\text{can chung minh}9+(c-2)(\frac{3-c}{2})^2-2c(3-c)\geq4[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (c-1)^2(c+2)\geq0 (dung)[/TEX]

 

[f_dark.9]

không mất tính tổng quát giả sử [TEX]a\geq b\geq c\geq \Rightarrow c\leq1[/TEX]
[TEX]\text{ta co:} a^2+b^2+c^2+abc=9-2(ab+bc+ca)+abc=9+ab(c-2)-2c(3-c)[/TEX]
[TEX]\text{lai co }: ab\leq (\frac{a+b}{2})^2=(\frac{3-c}{2})^2 \text{va}: c\leq1\Rightarrow c-2<0[/TEX]
[TEX]\Rightarrow a^2+b^2+c^2+abc\leq 9+(c-2)(\frac{3-c}{2})^2-2c(3-c)[/TEX]
[TEX]\text{can chung minh}9+(c-2)(\frac{3-c}{2})^2-2c(3-c)\geq4[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (c-1)^2(c+2)\geq0 (dung)[/TEX]

cho tớ hỏi 1 tí: bạn lấy ở đâu ra c\leq1 và cái [TEX]\Rightarrow a^2+b^2+c^2+abc\leq 9+(c-2)(\frac{3-c}{2})^2-2c(3-c)[/TEX] là\leq hay \geq thế ?

 

[nhockthongay_girlkute]

cho tớ hỏi 1 tí: bạn lấy ở đâu ra c\leq1 và cái [TEX]\Rightarrow a^2+b^2+c^2+abc\leq 9+(c-2)(\frac{3-c}{2})^2-2c(3-c)[/TEX] là\leq hay \geq thế ?

[TEX]\left{a+b+c=3\\{a\geq b\geq c}\Rightarrow c\leq1[/TEX]
[TEX]a^2+b^2+c^2+abc\geq 9+(c-2)(\frac{3-c}{2})^2-2c(3-c)[/TEX] vi` [TEX]c-2<0[/TEX] mà cậu

 

[f_dark.9]

??

[TEX]\left{a+b+c=3\\{a\geq b\geq c}\Rightarrow c\leq1[/TEX]
[TEX]a^2+b^2+c^2+abc\leq 9+(c-2)(\frac{3-c}{2})^2-2c(3-c)[/TEX] vi` [TEX]c-2<0[/TEX] mà cậu

Nếu bạn chắc chắn vậy thì [TEX]a^2+b^2+c^2+abc\leq 9+(c-2)(\frac{3-c}{2})^2-2c(3-c)[/TEX] chả có nghĩa lý gì cả vì dù bạn có CM được VP\geq4 thì VT cũng chưa chắc đã\geq4 vì VP\geq VT. Bạn thử xem lại xem!!

 

[vodichhocmai]

3 số không âm a, b, c sao cho a + b +c= 3. CMR:
[TEX]a^2 + b^2 + c^2 + abc\geq4[/TEX]

Giả sử rằng [TEX]c(a-1)(b-1)\ge 0\righ abc +c \ge c\(a+b\)[/TEX]

[TEX]\righ LHS\ge c^2+ \frac{\(3-c\)^2}{2}+c\(3-c\)-c=\frac{\(c-1\)^2+8}{2}\ge 4[/TEX]

CMR: [TEX]1/(n+1) +1/(n+2) +1/(n+3) +........+1/(n+n)>1/2\ \ \ n\in N[/TEX]

[TEX]\blue \huge LHS > \frac{1}{n+n}+\frac{1}{n+n}+......+\frac{1}{n+n} =\frac{n}{2n}=\frac{1}{2}[/TEX]