[Toán 10] chứng minh BDT

[pokoemon93]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. cho [TEX]1\geq x\geq y\geq 0[/TEX] cmr [TEX]\frac{x^3y^2+y^3+x^2}{x^2+y^2+1}\ge xy[/TEX]
2.cho a<b<C tm[TEX] a+b+c=0[/TEX] va[TEX] ab+bc+ca=-3 [/TEX]cmr [tex] \ \ -2\leq abc \leq 2 [/tex]và [TEX]\ \ -2<a<-1<b<1<c<2[/TEX]
3.cho hình chóp SABCD đều. R,r lần lượt là bk mặt cầu ngoại và nội tiếp hình chóp.[TEX]min \frac{R}{r}[/TEX]( tìm theo H và a. vs h là đường cao hình chóp. a là cạnh mặt đáy.)
4.cho [TEX]x,y, z[/TEX] k âm. vs [TEX]x+y+z=3.[/TEX] c,mr [TEX]x^2+y^2+z^2+xyz \geq 4[/TEX]
5. cho [TEX]a,b,c>0 [/TEX]và [TEX]abc=1[/TEX] cmr [TEX]\frac{a}{a^2+2} + \frac{b}{b^2+2}+ \frac{c}{c^2+2} \leq 1[/TEX]

 

[vodichhocmai]

1. cho [TEX]1\geq x\geq y\geq 0[/TEX] cmr [TEX]\frac{x^3y^2+y^3+x^2}{x^2+y^2+1}\ge xy[/TEX]
2.cho a<b<C tm[TEX] a+b+c=0[/TEX] va[TEX] ab+bc+ca=-3 [/TEX]cmr [tex] \ \ -2\leq abc \leq 2 [/tex]và [TEX]\ \ -2<a<-1<b<1<c<2[/TEX]
3.cho hình chóp SABCD đều. R,r lần lượt là bk mặt cầu ngoại và nội tiếp hình chóp.[TEX]min \frac{R}{r}[/TEX]( tìm theo H và a. vs h là đường cao hình chóp. a là cạnh mặt đáy.)
4.cho [TEX]x,y, z[/TEX] k âm. vs [TEX]x+y+z=3.[/TEX] c,mr [TEX]x^2+y^2+z^2+xyz \geq 4[/TEX]
5. cho [TEX]a,b,c>0 [/TEX]và [TEX]abc=1[/TEX] cmr [TEX]\frac{a}{a^2+2} + \frac{b}{b^2+2}+ \frac{c}{c^2+2} \leq 1[/TEX]

[TEX]1\)\ \ MS-\(xy\)TS:=xy^2\(x-1\)^2+\(x-y\)^2\(1-xy\)\ge 0[/TEX]

[TEX]4\)\ \ [/TEX]Giả sử rằng [TEX]c(a-1)(b-1)\ge 0\righ abc +c \ge c\(a+b\)[/TEX]

[TEX]\righ LHS\ge c^2+ \frac{\(3-c\)^2}{2}+c\(3-c\)-c=\frac{\(c-1\)^2+8}{2}\ge 4[/TEX]

[TEX]2) \ \ f(x):=\(x-a)(x-b)(x-c)=0[/TEX]

[TEX]\leftrightarrow f(x):=x^3-3x-abc =0[/TEX] Phương trình này luôn có [TEX]3[/TEX] nghiệm[TEX]\ \ a,b,c\ \ [/TEX] và liên tục trên [TEX]\math R[/TEX]

[TEX]\left{f(-2)f(-1):=\(-2-abc\)\(2-abc\)=\(abc\)^2-4<0\\\ f(-1\)f\(1\):=(2-abc\)\(-2-abc\)=\(abc\)^2-4<0\\f(1)f(2):=\(-2-abc\)\(2-abc\) =\(abc\)^2-4<0[/TEX]

Do đó phương trình luôn có [TEX]3[/TEX] nghiệm thỏa [TEX]\ \ -2<a<-1<b<1<c<2\ \ [/TEX]do [TEX]\ \ a<b<c[/TEX]

[TEX]3^*\)[/TEX] Nếu như hình chóp có [TEX]n[/TEX] giác đều và [TEX]R,r[/TEX] là bán kính ngoại và nội tiếp nó, thì chúng ta luôn có

[TEX]\frac{R}{r}\ge 1+ \frac{1}{cos \(\(\frac{\pi}{n} \)}[/TEX]

[TEX]AB=2a, \ \ SH=h[/TEX] là chiều cao của hình chóp.
[TEX]\righ \left{R=\frac{2a^2+h^2}{2h}\\r=\frac{a}{h}(\sqrt{a^2+h^2}-a)[/TEX].
[TEX]T=\frac{R}{r}=\frac{2a^2+h^2}{2a(\sqrt{a^2+h^2}-a)}=\frac{2+x}{2(\sqrt{1+x}-1)} \ \ \ \ \(x=\frac{h^2}{a^2}\)[/TEX].

Nhờ cái tổng quát mà ta biết con số [TEX]\blue \(1+\sqrt{2}\)[/TEX] và sẽ có dạng

[TEX]T-\(1+\sqrt{2}\):=\frac{\(a\sqrt{x-1}-b\)^2}{2(\sqrt{1+x}-1)}\ge 0[/TEX]

[TEX]5\) [/TEX] nó thì luôn đúng do bất đẳng thức

[TEX]\left{a,b,c>0,\ \ abc=1\\ P:=\sum_{cyclic}\frac{1}{2+a}\le 1[/TEX]

[TEX]\( 1-\sum_{cyclic}\frac{1}{2+a}\):=\frac{(2+a)(2+b)(2+c)-\sum_{cyclic}(2+a)(2+b)}{(2+a)(2+b)(2+c)}=\frac{ab+bc+ca-3}{(2+a)(2+b)(2+c)}\ge 0[/TEX]

[TEX]\righ \max_{a,b,c>0\ \ abc=1}\(\sum_{cyclic}\frac{1}{2+a}\)=1[/TEX]

 

[cui123]

anh vodichhocmai có thể viết lại không chứ nhìn rối mắt quá