[Toán 10] chứng minh BDT

[katanaoa]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1.CHo 4 số thực a,b,c,d thỏa mãn [TEX]0\leq a,b,c,d \leq1[/TEX] .CMR:
[TEX]\frac{a}{bcd+1}+\frac{b}{cda+1}+\frac{c}{abd+1}+ \frac{d}{abc+1} \leq3 [/TEX]

 

[vodichhocmai]

1.CHo 4 số thực a,b,c,d thỏa mãn [TEX]0\leq a,b,c,d \leq1[/TEX] .CMR:
[TEX]P:=\frac{a}{bcd+1}+\frac{b}{cda+1}+\frac{c}{abd+1}+ \frac{d}{abc+1} \leq3 [/TEX]

[TEX]P\le \frac{a}{abcd+1}+\frac{b}{bcda+1}+\frac{c}{cabd+1}+ \frac{d}{dabc+1} =\frac{a+b+c+d}{abcd+1}[/TEX]

[TEX]\left{\(1-a\)\(1-b\)\ge 0\leftrightarrow 1+ab\ge a+b\\ \(1-ab\)\(1-c\)\ge 0 \leftrightarrow 1+abc\ge ab+c \\ \(1-abc\)\(1-d\)\ge 0 \leftrightarrow 1+abcd \ge abc+d[/TEX]

[TEX]\righ a+b+c+d\le 3+abcd \le 3\(1+abcd\)[/TEX]

[TEX]\righ \frac{a+b+c+d}{1+abcd}\le 3[/TEX]

 

[vodichhocmai]

1.CHo 4 số thực a,b,c,d thỏa mãn [TEX]0\leq a,b,c,d \leq1[/TEX] .CMR
[TEX]\frac{a}{bcd+1}+\frac{b}{cda+1}+\frac{c}{abd+1}+ \frac{d}{abc+1} \leq3 [/TEX]

[TEX]P\le \frac{a}{abcd+1}+\frac{b}{bcda+1}+\frac{c}{cabd+1}+ \frac{d}{dabc+1} =\frac{a+b+c+d}{abcd+1}[/TEX]

Kể từ bước toán này nếu bạn không biết chứng minh thì cứ đưa về đường thẳng.

Chung ta cần chứng minh

[TEX] f(a_x,b,c,d\):= a\(1-3bcd\)+b+c+d-3 \righ \left[ f(a_x,b,c,d\) \le b+c+d-3 \le 0 \\ f(a_x,b,c,d\)\le -3bcd+b+c+d-2 [/TEX]

Tiếp tục

[TEX] f(b_x,c,d\)=b\(1-3cd\)+c+d-2\righ \left[ c+d-2 \le 0\\ -3cd +c+d -1\le 0\righ \(1-c\)\(1-d\)+2cd \ge 0[/TEX]

Vậy tóm lại ta có :

[TEX]\frac{a+b+c+d}{1+abcd} \le 3[/TEX]