[Toán 10] Chứng minh bđt khó

[linh123658]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c là 3 số thực dương. Chứng minh:
$\frac{(b+c)^2}{a(b+c+2a)}+\frac{(a+c)^2}{b(a+c+2b)}+\frac{(a+b)^2}{c(a+b+2c)}$ \geq $2(\frac{a}{c+b}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b})$

 

[viethoang1999]

Đặt $x=\dfrac{b+c}{2a};y=\dfrac{a+c}{2b};z=\dfrac{a+b}{2c}$ ta có: $x+y+z+1=4xyz$ và $xyz\ge 1$
$BDT$\Leftrightarrow $\sum \dfrac{x^2}{x+1}\ge \dfrac{xy+yz+zx}{2xyz}$
Áp dụng bđt Cauchy Schwarz ta có:
$\sum \dfrac{x^2}{x+1}\ge \dfrac{(x+y+z)^2}{x+y+z+3}\ge \dfrac{3(xy+yz+zx)}{6xyz}=\dfrac{xy+yz+zx}{2xyz}$ (đpcm)
Dấu $"="$ xảy ra khi: $x=y=z$

"Bài dự thi event box toán 10"

 

[forum_]

BTC:

Đúng , +2đ

==> Cảm ơn bạn đã tham gia event