[Toán 10 ] chứng minh bdt cực khó

[nguyenthuytho]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Giả sử a,b,c là các số thực dương thoả mãn :
[TEX]\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1}+\frac{1}{a+b+1}\ge1[/TEX]
Chứng minh rằng :
[TEX]a+b+c\geq ab+bc+ca[/TEX]

Nếu thấy bài của minh giúp ích cho bạn hãy cảm ơn​

 

[01263812493]

Giả sử a,b,c là các số thực dương thoả mãn :
[TEX]\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1}+\frac{1}{a+b+1}\ge1[/TEX]
Chứng minh rằng :
[TEX]a+b+c\geq ab+bc+ca[/TEX]

Nếu thấy bài của minh giúp ích cho bạn hãy cảm ơn​

Áp dụng Bất Đẳng Thức Cauchy - Schwazr, ta có:

[TEX]\blue \left{(a+b+1)(a+b+c^2) \geq (a+b+c)^2 \\ (b+c+1)(b+c+a^2) \geq (b+c+a)^2 \\ (a+c+1)(a+c+b^2) \geq (a+c+b)^2[/TEX]
​

Do đó:

[TEX]\blue \frac{a+b+c^2}{(a+b+c)^2}+\frac{b+c+a^2}{(a+b+c)^2} +\frac{a+c+b^2}{(a+b+c)^2} \geq \frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1}+\frac{1}{a+b+1}\ge1[/TEX]

[TEX]\blue \leftrightarrow \frac{2(a+b+c)+a^2+b^2+c^2}{(a+b+c)^2} \geq 1[/TEX]

[TEX]\blue \leftrightarrow a+b+c \geq ab+bc+ac \longrightarrow dpcm[/TEX]​