[Toán 10] Chứng minh bất phương trình?

[vuphong0707]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Các bạn cho mình cách giải những bài toán như thế này nha , bọn mình thi học kì II
Bài : Chứng minh rằng:
$(\frac{x}{y} +2)$$(\frac{y}{x}+2)$\geq $8$

 

[soicon_boy_9x]

Chỉ đúng với x,y cùng dấu nhé

Ta có:

$(\dfrac{x}{y}+2)(\dfrac{y}{x}+2) \geq 2\sqrt{\dfrac{2x}{y}}.2.
\sqrt{\dfrac{2y}{x}}=8$

Dấu $"="$ không xảy ra

Bài này có thể chứng minh được $ \geq 9$

$(\dfrac{x}{y}+2)(\dfrac{y}{x}+2)=5+2(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x})
\geq 9$

Dấu $"="$ xảy ra $\leftrightarrow x=y$

 

[vuphong0707]

Bạn ơi cho mình cái công thức tổng quát được không , bạn giải chi tiết ra được không tại sao lại >8

 

[demon311]

Dùng Cauchy từng cặp cũng OK mà:
$\dfrac{x}{y}+1+1 \ge 3.\sqrt[3]{\dfrac{x}{y}} \\
\dfrac{y}{x}+1+1 \ge \sqrt[3]{\dfrac{y}{x}} \\
(\dfrac{x}{y}+2)(\dfrac{y}{x}+2) \ge 9$

Dấu bằng xảy ra:
$x=y$

 

[mrza]

Các bạn cho mình cách giải những bài toán như thế này nha , bọn mình thi học kì II
Bài : Chứng minh rằng:
$(\frac{x}{y} +2)$$(\frac{y}{x}+2)$\geq $8$

[tex]\left( {\frac{x}{y} + 2} \right)\left( {\frac{y}{x} + 2} \right) \ge 8[/tex]
[tex]t = \frac{x}{y} \Rightarrow \left( {t + 2} \right)\left( {\frac{1}{t} + 2} \right) \ge 8[/tex]
[tex] \Leftrightarrow 2{t^2} + 2 \ge 3t[/tex]
[tex] \Leftrightarrow 2{t^2} - 3t + 2 \ge 0[/tex]
[tex]\Delta = {( - 3)^2} - 4.2.2 = - 7 < 0[/tex]
[tex]a = 2 > 0[/tex]
[tex] \Rightarrow 2{t^2} - 3t + 2 > 0\forall x \in R[/tex]
\Rightarrow đpcm
bđt chỉ đúng khi x, y cùng dấu.