Toán [Toán 10] Chứng minh bất đẳng thức

[Uchiha Sasuke']

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1,Cho các số thực a,b,c,d thỏa mãn abcd=1.CMR:
T=[tex]\frac{1}{(1+a)^{2}}+\frac{1}{(1+b)^{2}}+\frac{1}{(1+c)^{2}}+\frac{1}{(1+d)^{2}}\geq 1[/tex]

2,Cho các số thực a,b,c,d[tex]\geq \frac{1}{\sqrt{2}}[/tex] thỏa mãn a+b+c+d=4.CMR:
[tex]\frac{1}{\sqrt{1+a^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+b^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+c^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+d^{2}}}\geq 2\sqrt{2}[/tex]

3,Cho x,y,z>0 và [tex]x^{3}+y^{2}+z^{3}=1[/tex] .CMR:
[tex]\frac{x}{y^{2}+z^{2}}+\frac{y}{z^{2}+x^{2}}+\frac{z}{x^{2}+y^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}[/tex]

4,Cho x,y>0 và x+y[tex]\geq4[/tex] .CMR:
[tex]\frac{3x^{2}+4}{4x}+\frac{2+y^{3}}{y^{2}}\geq \frac{9}{2 }[/tex]

5,Cho x,y,z>0 và xyz=1. CMR:
[tex]\frac{x^{3}}{(1+y)(1+z)}+\frac{y^{3}}{(1+z)(1+x)}+\frac{z^{3}}{(1+x)(1+y)}\geq \frac{3}{4}[/tex]

6,Cho x,y,z>0 và xyz=1. CMR
[tex]\frac{x^3}{1+y}+\frac{y^3}{1+z}+\frac{z^3}{1+x}\geq \frac{3}{2 }[/tex]

7,Cho x,y,z>0 và x+y+z=1.CMR:
[tex]x+\sqrt{xy}+\sqrt[3]{xyz}\leq \frac{4}{3}[/tex]

 

[Kenny228]

dùng kiến thức lớp 9 hả bạn?

 

[Uchiha Sasuke']

dùng kiến thức lớp 9 hả bạn?

kiến thức nào cũng được

 

[Uchiha Sasuke']

Bài 3 sửa lại là [tex]x^{2}+y^{2}+z^{2}=1[/tex]

 

[Lucifer0810]

1,Cho các số thực a,b,c,d thỏa mãn abcd=1.CMR:
T=[tex]\frac{1}{(1+a)^{2}}+\frac{1}{(1+b)^{2}}+\frac{1}{(1+c)^{2}}+\frac{1}{(1+d)^{2}}\geq 1[/tex]

2,Cho các số thực a,b,c,d[tex]\geq \frac{1}{\sqrt{2}}[/tex] thỏa mãn a+b+c+d=4.CMR:
[tex]\frac{1}{\sqrt{1+a^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+b^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+c^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+d^{2}}}\geq 2\sqrt{2}[/tex]

3,Cho x,y,z>0 và [tex]x^{2}+y^{2}+z^{2}=1[/tex] .CMR:
[tex]\frac{x}{y^{2}+z^{2}}+\frac{y}{z^{2}+x^{2}}+\frac{z}{x^{2}+y^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}[/tex]

4,Cho x,y>0 và x+y[tex]\geq4[/tex] .CMR:
[tex]\frac{3x^{2}+4}{4x}+\frac{2+y^{3}}{y^{2}}\geq \frac{9}{2 }[/tex]

5,Cho x,y,z>0 và xyz=1. CMR:
[tex]\frac{x^{3}}{(1+y)(1+z)}+\frac{y^{3}}{(1+z)(1+x)}+\frac{z^{3}}{(1+x)(1+y)}\geq \frac{3}{4}[/tex]

6,Cho x,y,z>0 và xyz=1. CMR
[tex]\frac{x^3}{1+y}+\frac{y^3}{1+z}+\frac{z^3}{1+x}\geq \frac{3}{2 }[/tex]

7,Cho x,y,z>0 và x+y+z=1.CMR:
[tex]x+\sqrt{xy}+\sqrt[3]{xyz}\leq \frac{4}{3}[/tex]

bài lớp mấy đây ak

 

[Ann Lee]

1,Cho các số thực a,b,c,d thỏa mãn abcd=1.CMR:
T=[tex]\frac{1}{(1+a)^{2}}+\frac{1}{(1+b)^{2}}+\frac{1}{(1+c)^{2}}+\frac{1}{(1+d)^{2}}\geq 1[/tex]

2,Cho các số thực a,b,c,d[tex]\geq \frac{1}{\sqrt{2}}[/tex] thỏa mãn a+b+c+d=4.CMR:
[tex]\frac{1}{\sqrt{1+a^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+b^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+c^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+d^{2}}}\geq 2\sqrt{2}[/tex]

3,Cho x,y,z>0 và [tex]x^{3}+y^{2}+z^{3}=1[/tex] .CMR:
[tex]\frac{x}{y^{2}+z^{2}}+\frac{y}{z^{2}+x^{2}}+\frac{z}{x^{2}+y^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}[/tex]

4,Cho x,y>0 và x+y[tex]\geq4[/tex] .CMR:
[tex]\frac{3x^{2}+4}{4x}+\frac{2+y^{3}}{y^{2}}\geq \frac{9}{2 }[/tex]

5,Cho x,y,z>0 và xyz=1. CMR:
[tex]\frac{x^{3}}{(1+y)(1+z)}+\frac{y^{3}}{(1+z)(1+x)}+\frac{z^{3}}{(1+x)(1+y)}\geq \frac{3}{4}[/tex]

6,Cho x,y,z>0 và xyz=1. CMR
[tex]\frac{x^3}{1+y}+\frac{y^3}{1+z}+\frac{z^3}{1+x}\geq \frac{3}{2 }[/tex]

7,Cho x,y,z>0 và x+y+z=1.CMR:
[tex]x+\sqrt{xy}+\sqrt[3]{xyz}\leq \frac{4}{3}[/tex]

Bài 3:
[tex]2x^{2}(1-x^{2})(1-x^{2})\leq \frac{(2x^{2}+1-x^{2}+1-x^{2})^{3}}{27}=\frac{8}{27}[/tex] (BĐT Cauchy cho 3 số)
[tex]\Leftrightarrow \frac{4}{27}\geq x^{2}(1-x^{2})(1-x^{2})[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \frac{2}{3\sqrt{3}}\geq x(1-x^{2})[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \frac{1}{1-x^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}x[/tex]
Chứng minh tương tự được:...
Có: $\frac{x}{y^{2}+z^{2}}+\frac{y}{z^{2}+x^{2}}+\frac{z}{y^{2}+x^{2}}$
$=\frac{x}{1-x^{2}}+\frac{y}{1-y^{2}}+\frac{z}{1-z^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}(x^{2}+y^{2}+z^{2})=\frac{3\sqrt{3}}{2}$ (đpcm)
Đẳng thức xảy ra...
Bài 4:
$VT=\frac{3}{4}x+\frac{1}{x}+\frac{2}{y^{2}}+y$
$=(\frac{x}{4}+\frac{1}{x})+(\frac{2}{y^{2}}+\frac{y}{4}+\frac{y}{4})+\frac{1}{2}(x+y)$
$\geq 2\sqrt{\frac{x}{4}.\frac{1}{x}}+3\sqrt[3]{\frac{2}{y^{2}}.\frac{y}{4}.\frac{y}{4}}+\frac{1}{2}.4= \frac{9}{2}$ (BĐT Cauchy)
Đẳng thức xảy ra...
Bài 5:
[tex]\frac{x^{3}}{(1+x)(1+y)}+\frac{1+y}{8}+\frac{1+z}{8}\geq 3\sqrt[3]{\frac{x^{3}}{(1+x)(1+y)}.\frac{1+y}{8}.\frac{1+z}{8}}=\frac{3x}{4}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \frac{x^{3}}{(1+y)(1+z)}\geq \frac{3x}{4}-\frac{2+y+z}{8}[/tex]
Chứng minh tương tự:....
[tex]\Rightarrow VT\geq \frac{3}{4}(x+y+z)-\frac{6+2(x+y+z)}{8}=\frac{x+y+z}{2}-\frac{3}{4}\geq \frac{3\sqrt[3]{xyz}}{2}-\frac{3}{4}=\frac{3}{2}-\frac{3}{4}=\frac{3}{4}[/tex] ( BĐT Cauchy) ( vì xyz=1)
Đẳng thức xảy ra...
Bài 7:
[tex]x+\sqrt{xy}+\sqrt[3]{xyz}= x+\frac{1}{2}.\sqrt{x.4y}+\frac{1}{4}.\sqrt[3]{x.4y.16z}\leq x+\frac{x+4y}{4}+\frac{x+4y+16}{12}=\frac{4}{3}(x+y+z)=\frac{4}{3}[/tex]
Đẳng thức xảy ra <=> x=4y=16z <=> ....