Toán 10 - Chứng minh bất đẳng thức

[dhkq1999]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: Chứng minh:

a) $(2a+1)(b+3)(ab+6)\ge 48ab$

b) $\dfrac{1}{a}+ \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \ge \dfrac{9}{a+b+c}$

c) $\dfrac{a}{b+c} + \dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\ge \dfrac{3}{2}$

d) $\dfrac{a^2}{b+c} +\dfrac{b^2}{c+a}+ \dfrac{c^2}{a+b}\ge \dfrac{a+b+c}{2}$

Bài 2: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa $xy+yz+xz=1$.

Chứng minh $x^3 + y^3 +z^3 \ge \dfrac{1}{\sqrt{3}}$ , dấu = xảy ra khi nào ?

Bài 3: Cho a, b , c là các số thực dương. Tìm giá trị lớn nhất của:

a) $P= \dfrac{a^3}{\sqrt{b^2 +3}} + \dfrac{b^3}{\sqrt{c^2 +3}} + \dfrac{c^3}{\sqrt{a^2 +3}}$ nếu $a^2 +b^2 +c^2 = 3$

b) $M= \sqrt[3]{a+3b} + \sqrt[3]{b+3c} + \sqrt[3]{c+3a}$ nếu $a+b+c = \dfrac{3}{4}$

Bài 1: Xem lại xem $a;b;c .ge 0$ không
ấn sửa bài đề xem cách gõ công thức

 

[lp_qt]

Câu 1

Thiếu đk $a;b;c \ge 0$

Bài 1:Chứng minh bất đẳng thức sau

a)$ (2a+1)(b+3)(ab+6) \ge 48ab$

b) $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \ge \dfrac{9}{a+b+c}$

c) $\dfrac{a}{b+c} + \dfrac{b}{c+a} + \dfrac{c}{a+b} \ge \dfrac{3}{2}$

d) $\dfrac{a^2}{b+c} +\dfrac{b^2}{c+a} + \dfrac{c^2}{a+b} \ge \dfrac{a+b+c}{2}$

a)
$2a+1 \ge 2\sqrt{2a}$

$b+3 \ge 2\sqrt{3b}$

$ab+6 \ge 2\sqrt{ab}$

\Rightarrow $(2a+1)(b+3)(ab+6)\ge 48ab$

b)

$\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \ge \dfrac{(1+1+1)^2}{a+b+c}=\dfrac{9}{a+b+c}$

c)
$\dfrac{a}{b+c} + \dfrac{b}{c+a} + \dfrac{c}{a+b}
=\dfrac{a^2}{ba+ca} + \dfrac{b^2}{cb+ab} + \dfrac{c^2}{ac+bc}$

$\ge \dfrac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ac)}\ge \dfrac{(a+b+c)^2}{\dfrac{2}{3}(a+b+c)^2} =\dfrac{3}{2}$

d)

$\dfrac{a^2}{b+c} +\dfrac{b^2}{c+a} + \dfrac{c^2}{a+b} \ge \dfrac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)}=\dfrac{a+b+c}{2}$

 

[lp_qt]

Câu 2

Bài 2:
Cho x, y, z là các số thực dương thỏa $xy+yz+xz=1$. Chứng minh $x^3 + y^3 +z^3 \ge \dfrac{1}{\sqrt{3}}$

$x^3+y^3+\dfrac{\sqrt{3}}{9}\ge 3\sqrt[3]{x^3.y^3.\dfrac{\sqrt{3}}{9}}=\sqrt{3}xy$

$x^3+z^3+\dfrac{\sqrt{3}}{9}\ge 3\sqrt[3]{x^3.z^3.\dfrac{\sqrt{3}}{9}}=\sqrt{3}xz$

$z^3+y^3+\dfrac{\sqrt{3}}{9}\ge 3\sqrt[3]{z^3.y^3.\dfrac{\sqrt{3}}{9}}=\sqrt{3}zy$

\Rightarrow $2.(x^3+y^3+z^3)+\dfrac{\sqrt{3}}{3}\ge \sqrt{3}(xy+zy+zx)=\sqrt{3}$

\Rightarrow $x^3+y^3+z^3 \ge \dfrac{\sqrt{3}}{3}$

khi $x=y=z=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$

 

[lp_qt]

$ M= \sqrt[3]{a+3b} + \sqrt[3]{b+3c} + \sqrt[3]{c+3a}$ nếu $a+b+c = \dfrac{3}{4}$

$\sqrt[3]{a+3b}=\sqrt[3]{(a+3b).1.1} \le \dfrac{a+3b+1+1}{3}=\dfrac{a+3b+2}{3}$

$\sqrt[3]{b+3c}=\sqrt[3]{(b+3c).1.1} \le \dfrac{b+3c+1+1}{3}=\dfrac{b+3c+2}{3}$

$\sqrt[3]{c+3a}=\sqrt[3]{(c+3a).1.1} \le \dfrac{c+3a+1+1}{3}=\dfrac{c+3a+2}{3}$

\Rightarrow $M=\sqrt[3]{a+3b} + \sqrt[3]{b+3c} + \sqrt[3]{c+3a} \le \dfrac{4(a+b+c)+6}{3}=3$

khi $a=b=c=\dfrac{1}{4}$

 

[eye_smile]

2,Cách khác:

$x^3+y^3+z^3=\dfrac{x^4}{x}+\dfrac{y^4}{y}+\dfrac{z^4}{z} \ge \dfrac{(x^2+y^2+z^2)^2}{x+y+z} \ge \dfrac{(x^2+y^2+z^2)^2}{\sqrt{3}.\sqrt{x^2+y^2+z^2)}}=\dfrac{(\sqrt{x^2+y^2+z^2})^3}{\sqrt{3}} \ge \dfrac{(\sqrt{xy+yz+zx})^3}{\sqrt{3}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$

 

[eye_smile]

B3 câu a là tìm max hay min hả bạn

Xem lại đề tí.