[toán 10] chứng minh bất đẳng thức

[vipboycodon]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c > 0 thỏa $a^3+b^3+c^3 = 3$ . CMR: $a^5+b^5+c^5 \ge 3$

 

[transformers123]

Dễ thấy: $a^3+1+1 \ge 3a$

Suy ra $a^3+b^3+c^3+6 \ge 3a+3b+3c$

$\iff a+b+c \le 3$

Ta có: $a^5+b^5+c^5 \ge \dfrac{(a^3+b^3+c^3)^2}{a+b+c} \ge \dfrac{3^2}{3}=3$

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

 

[huynhbachkhoa23]

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:
$\dfrac{3a^5+2}{5}\ge a^3$. Tương tự rồi cộng lại ta được $\dfrac{3(a^5+b^5+c^5)+6}{5}\ge a^3+b^3+c^3=3\leftrightarrow a^5+b^5+c^5\ge 3$