[Toán 10]Chứng Minh bất đẳng thức

[manhto03@gmail.com]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

.........................................................................................................................................................

 

[eye_smile]

BĐT \Leftrightarrow $6(a^2b+b^2c+c^2a)+4(a^3+b^4+c^3) \ge 2(a^2c+b^2a+c^2b)+24abc$ (Quy đồng và rút gọn =)) )

Ta có:

$a^3+ac^2 \ge 2a^2c$

$b^3+ba^2 \ge 2b^2a$

$c^3+cb^2 \ge 2c^2b$

$3(a^3+b^3+c^3) \ge 3.3abc=9abc$

$5(a^2b+b^2c+c^2a) \ge 5.3abc=15abc$

Cộng theo vế suy ra đpcm.

 

[huynhbachkhoa23]

Ta viết lại bất đẳng thức: $\sum \dfrac{b+2c}{b+2c+3a} \ge \dfrac{3}{2}$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
$LHS\ge \dfrac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+5(ab+bc+ca)}+\dfrac{2(a+b+c)^2}{2(a^2+b^2+c^2)+4(ab+bc+ca)}=\dfrac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+5(ab+bc+ca)} +1$
Do đó ta cần chứng minh $2(a+b+c)^2 \ge a^2+b^2+c^2+5(ab+bc+ca)$
Tương đương với $a^2+b^2+c^2 \ge ab+bc+ca$ hay $(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\ge 0$ luôn đúng.