[Toán 10] Chứng minh bất đẳng thức

[melody38]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

a,b>1
Ch/m:
1/(1+a) + 1/(1+b) \geq 2/(1+căn(ab))
giúp mình với

 

[nguyenbahiep1]

bất đẳng thức của khối A năm 2012

quy đồng chứng minh tương đương

[laTEX]\frac{a+b+2}{ab+a+b+1} \geq \frac{2}{1+\sqrt{ab}} \\ \\ (a+b+2)(1+\sqrt{ab}) \geq 2 (ab+a+b+1) \\ \\ a+b+2 + (a+b)\sqrt{ab} +2\sqrt{ab} \geq 2(a+b) + 2ab+ 2 \\ \\ (a+b)\sqrt{ab} +2\sqrt{ab} \geq a+b + 2ab \\ \\ (a+b)( \sqrt{ab}-1) - 2\sqrt{ab}(\sqrt{ab}-1) \geq 0 \\ \\ ( \sqrt{ab}-1)(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 \geq 0 \Rightarrow dpcm[/laTEX]

 

[sam_chuoi]

Umbala

a,b>1
Ch/m:
1/(1+a) + 1/(1+b) \geq 2/(1+căn(ab))
giúp mình với

$$ đpcm <=> 1/(1+a)-1/(1+căn(ab))+1/(1+b)-1/(1+căn(ab))>=0 <=> (căn(ab)-a)/[(1+a)(1+căn(ab)]+(căn(ab)-b)/[(1+b)(1+căn(ab)]>=0 <=> (1+b).căn(a).(căn(b)-căn(a))-(1+a).căn(b).(căn(b)-căn(a))>=0. Phân tích thành (căn(ab)-1).[căn(b)-căn(a)]^2>=0, đúng với mọi a,b>1. Dấu = xảy ra khi a=b.

 

[tranvanhung7997]

Đặt $\sqrt[]{a} = x ; \sqrt[]{b} = y$ $( x ; y > 1)$
Ta có: $\dfrac{1}{1 + x^2} + \dfrac{1}{1 + y^2} - \dfrac{2}{xy + 1}$
$= (\dfrac{1}{1 + x^2} - \dfrac{1}{xy + 1}) + (\dfrac{1}{1 + y^2} - \dfrac{1}{xy + 1})$
$ = \dfrac{xy - x^2}{(1 + xy)(1 + x^2)} + \dfrac{y^2 - xy}{(1 + xy)(1 + y^2)}$
$ = \dfrac{y - x}{1 + xy}.(\dfrac{x}{1 + x^2} - \dfrac{y}{1 + y^2}$
$ = \dfrac{(y - x)(xy^2 - x^2y + x - y)}{(1 + x^2)(1 + y^2)(1 + xy)}$
$ = \dfrac{(y - x)^2(xy - 1)}{(1 + x^2)(1 + y^2)(1 + xy)} \ge 0$ ( Vì $x \ge 1 ; y \ge 1$)
$=> \dfrac{1}{1 + x^2} + \dfrac{1}{1 + y^2} \ge \dfrac{2}{xy + 1}$
=> đpcm